Основываясь на приведенном здесь анализе волн типа Е, найдем связь между продольным волновым числом, двумя геометрическими параметрами волновода — размерами сечения и и длиной волны возбуждающего генератора.
На основании материала, рассмотренного выше, имеем
Напомним, что входящие в это уравнение постоянная распространения в свободном пространстве и продольное волновое число очень просто связаны с длиной волны генератора и длиной волны в волноводе :
В свою очередь, поперечное волновое число , определяемое формулой , зависит лишь от геометрических размеров сечения и от индексов выбранного типа волны и совершенно не зависит от частоты.
Выражение для поперечного волнового числа позволяет вскрыть важнейшую особенность работы любого волновода рассматриваемого типа. Если , то продольное волновое число является вещественным, а это, как уже известно, означает распространение данного колебания в виде бегущих волн. Ести длина волны генератора увеличена настолько, что , то вместо бегущей волны в волноводе существуют нераспространяющиеся колебания, амплитуда которых экспоненциально уменьшается по координате. Об этом свидетельствует мнимый характер продольного волнового числа.
Граничный случай возникает, когда равно. При этом и, как следствие,. Принято говорить, что в данных условиях рассматриваемый тип колебаний находится в критическом режиме. Значение длины волны генератора, соответствующее случаю , называется критической длиной волны для данного типа колебаний в исследуемом волноводе и обозначается. Во избежание недоразумений в ряде случаев приходится указывать, к какому типу колебаний эта величина относится, или, по крайней мере, обозначать индексы рассматриваемого типа колебаний.
Из приведенных рассуждений следует, что , откуда
Связь между тремя волновыми числами , и может быть вььражена через соответствующие длины волн следующим образом:
Это равенство показывает, что при изменении величины генератора длина волны в волноводе изменяется не пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве носит название дисперсионной характеристики волновода. В явном виде эта характеристика описывается формулой, вытекающей из предыдущего соотношения
Легко заметить, что вывод этой формулы основан только на двух предпосылках: пропорциональности комплексных амплитуд бегущих волн множителю и существовании понятия критической длины волны. Поскольку обе предпосылки справедливы для любого типа колебаний в полом металлическом волноводе с произвольной формой поперечного сечения, то полученный результат имеет универсальное значение для всех рассматриваемых волноводов. Разница будет обнаруживаться лишь в различных способах вычисления величины. Дисперсионную характе-ристику волновода весьма удобно изобразить на графике, подобном приведенному на рисунке 19.
Рисунок 19 − Дисперсионная характеристика волновода
Вся область длин волн, меньших, чем , является областью «прозрачности» данного волновода на рассматриваемом типе колебаний; причем, если , то длина волны в волноводе лишь в очень малой степени отличается от длины волны в свободном пространстве, всегда превосходя ее. Если на графике рисунка 19 стремится к слева, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности. При переходе через граничное значение в волноводе имеются уже не бегущие, а экспоненциально затухающие волны. Всю область частот, которой соответствуют , называют областью непрозрачности или областью отсечки.
То, что длина волны в волноводе всегда превосходит длину волны в свободном пространстве, обусловлено тем, что как волны типа Е, так и волны типа Н в волноводах с идеально проводящими стенками распространяются с фазовыми скоростями, большими, чем скорость света в вакууме. Поскольку фазовая скорость, длина волны и частота связаны очевидным соотношением, из выражения для длины волны в волноводе следует формула для вычисления фазовой скорости
Как известно, основная задача классической механики заключается в определении положения макрообъекта в любой момент времени. Для этого составляется система уравнений, решение которой позволяет выяснить зависимость радиус-вектора от времени t. В классической механике состояние частицы при ее движении в каждый момент задается двумя величинами: радиус-вектором и импульсом. Таким образом, классическое описание движения частицы правомерно, если оно происходит в области с характерным размером, много большим, чем длина волны де Бройля. В противном случае (например, вблизи ядра атома) следует принимать во внимание волновые свойства микрочастиц. Об ограниченной применимости классического описания микрообъектов, имеющих волновые свойства, и говорят соотношения неопределенностей.
С учетом наличия у микрочастицы волновых свойств ее состояние в квантовой механике задается с помощью некоторой функции координат и времени (x, y, z, t), называемой волновой или — функцией. В квантовой физике вводится комплексная функция, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности).
Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения решения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.
Теория, описывающая движение малых частиц с учетом их волновых свойств, называется квантовой, или волновой механикой. Многие положения этой теории кажутся странными и непривычными с точки зрения представлений, сложившихся при изучении классической физики. Следует всегда помнить, что критерием правильности теории, какой бы странной она не казалась поначалу, является совпадение ее следствий с опытными данными. Квантовая же механика в своей области (строение и свойства атомов, молекул и отчасти атомных ядер) прекрасно подтверждается опытом.
Волновая функция описывает состояние частицы во всех точках пространства и для любого момента времени. Для понимания физического смысла волновой функции обратимся к опытам по дифракции электронов. (Опыты Томсона и Тартаковского по пропусканию электронов через тонкую металлическую фольгу). Оказывается, что четкие дифракционные картины обнаруживаются даже в том случае, если направлять на мишень одиночные электроны, т. когда каждый последующий электрон испускается после того, как предыдущий достигнет экрана. После достаточной продолжительной бомбардировки картина на экране будет в точности соответствовать той, которая получается при одновременном направлении на мишень большого числа электронов.
Из этого можно сделать вывод о том, движение любой микрочастицы по отдельности, в том числе и место ее обнаружения, подчиняется статистическим (вероятностным) закономерностям, и при направлении на мишень одиночного электрона точку на экране, в которой он будет зафиксирован, заранее со 100%-й уверенностью предсказать невозможно.
В дифракционных опытах Томсона на фотопластинке образовывалась система темных концентрических колец. Можно с уверенностью сказать, что вероятность обнаружения (попадания) каждого испущенного электрона в различных местах фотопластинки неодинакова. В области темных концентрических колец эта вероятность больше, чем в остальных местах экрана. Распределение электронов по всему экрану оказывается таким же, каким является распределение интенсивности электромагнитной волны в аналогичном дифракционном опыте: там, где интенсивность рентгеновской волны велика, частиц в опыте Томсона регистрируется много, а там, где интенсивность мала — частицы почти не появляются.
С волновой точки зрения наличие максимума числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волны де Бройля. Это послужило основанием для статистического (вероятностного) истолкования волны де Бройля. Волновая функция как раз и является математическим выражением, которое позволяет описать распространение какой-либо волны в пространстве. В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, связанной с частицей.
Для одномерного движения ( например, в направлении оси Ox ) вероятность dP обнаружения частицы в промежутке между точками x и x + dx в момент времени t равна
dP = , (6
Вероятность обнаружить частицу во всем бесконечном пространстве равна единице. Отсюда следует условие нормировки волновой функции:
Величина является плотностью вероятности, или, что то же самое, плотностью распределение координат частиц. В простейшем случае одномерного движения частицы вдоль оси ОX среднее значение ее координаты вычисляется следующим соотношением:
Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной), непрерывной (вероятность не может меняться скачком) и гладкой (без изломов) во всем пространстве.
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2 , Ψn , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:
где Cn (n = 1, 2, 3) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовуютеорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.
Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояниямикрообъектов.
Например, среднее расстояние электрона отядра вычисляется по формуле:
где вычисления проводятся, как и в случае (6. Таким образом, точно предсказать в дифракционных опытах, в каком месте экрана будет зафиксирован тот или иной электрон, невозможно, даже заранее зная его волновую функцию. Можно лишь с определенной вероятностью предположить, что электрон будет зафиксирован в определенном месте. В этом отличие поведения квантовых объектов от классических. В классической механике при описании движения макротел мы со 100%-й вероятностью знали заранее, в каком месте пространства будет находиться материальная точка (например, космическая станция) в любой момент времени.
Де Бройль использовал представление о фазовых волнах (волнах вещества или волнах де Бройля) для наглядного толкования правила квантования орбит электрона в атоме по Бору в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты укладывается целое число этих волн , то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В этом случае орбита становится стационарной и не возникает излучения. Де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования в виде:
где R – радиус круговой орбиты, п – целое число (главное квантовое число). Полагая здесь и учитывая, что L = RP есть момент импульса электрона, получим:
что совпадает с правилом квантования орбит электрона в атоме водорода по Бору.
В дальнейшем условие (6. 5) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны меняется вдоль траектории электрона. Однако, в рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона.
ОпределениеПравить
Геометрическое место точек, для которых при каждом реализуется условие , называют интерференционной полосой. Расстояние В между двумя соседними максимумами (или минимумами) в интерференционной картине называют шириной интерференционной полосы.
Найдём ширину полосы как расстояние между максимумами (или минимумами) порядков и :
Из выражения (2. 25) видно, что ширина полосы растет с удалением источников от экрана и с уменьшением расстояния между ними. При использовании коротковолнового излучения она меньше, чем в случае длинноволнового излучения.
Допустим теперь, что один из источников находится в вакууме, а другой – в среде с показателем преломления (рис. Выясним, куда следует поместить источник s2 , если мы хотим. Чтобы в точку О, лежащую на границе раздела сред, волны пришли с прежней разностью фаз.
Условие неизменности разности фаз волн, приходящих в точку О, можно представить в виде
В соответствии с формулами (2. 13) и с учётом того, что скорость света в вакууме равна с, условие (2. 26) можно привести к виду
Поскольку при переходе волн из одной среды в другую частота колебаний не изменяется (), то из выражения (2. 27) следует:. Отсюда получим: , или
Таким образом, в среде с показателем преломления источник света должен быть смещён на расстояние ближе к точке О. Расстояние
называют оптическим путёмсвета в среде с показателем преломления. В выражении (2. 29) — геометрический путь, пройденный светом. Очевидно, что оптический путь численно равен тому расстоянию, на которое сместится волновой фронт в вакууме за то же время, за которое он пройдёт расстояние в среде с показателем преломления.
Пусть теперь в нашем распоряжении один источник света , экран Э и плоское зеркало З (рис.
В точку М волны могут попасть как непосредственно, распространяясь вдоль луча , так и после отражения от зеркала З. Легко увидеть, что и здесь, как и в опыте Юнга, имеет место деление волнового фронта, но оно сопровождается изменением направления распространения части светового пучка. Из свойств изображений, получаемых с помощью плоского зеркала, ясно, что =и. Следует заметить, что в точке К волны отражаются от оптически более плотной среды (показатель преломления материала зеркала больше, чем окружающей его среды) и, следовательно, их фаза изменяется на противоположную. Иначе говоря, происходит потеря полуволны при отражении. Поэтому разность хода волн, дошедших до точки М непосредственно от источника и после отражения от зеркала, будет равна
если установка находится в вакууме, и
если опыт проводится в среде с показателем преломления. Область, в которой наблюдается интерференционная картина на экране Э, располагается между точками и , в которые приходят волны, отражёные от крайних точек зеркала.
Заметим, что если в схеме Юнга интерферируют волны, идущие от двух действительных источников, то в схеме Ллойда один из источников действительный, а другой — мнимый. Примерами интерференционных опытов, в которых когерентные пучки получают разделением волнового фронта, могут служить установки, использующие бипризму Френеля (рис. 9), бизеркала Френеля (рис. 10), билинзу Бийе (рис. 11). Сравнивая эти схемы с рис. 6, несложно выделить на них расстояния, необходимые для расчета интерференционной картины.
Рассмотрим теперь те опыты, в которых для получения когерентных источников используется деление волн по амплитуде.
Пусть на тонкую пластинку постоянной толщины (рис. 12) из вакуума падает волна с плоским фронтом (ей соответствует пучок параллельных лучей), сформированным с помощью точечного источника и линзы , в фокусе которой источник находится. Лучи , отраженный в точке С от верхней поверхности пластинки, и , вышедший из неё после преломления луча 2 в точке А, отражения его в точке В и преломления в точке С, параллельны друг другу. В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись законами отражения и преломления света. Поскольку условия распространения всех лучей, падающих на пластинку, в этом опыте одинаковы, то для пар лучей и , а также других, одинаковых с ними по происхождению, разность хода будет одинаковой:
, (2. 30)
и, следовательно, при использовании источника белого света вся пластинка будет казаться окрашенной в цвет, соответствующий той длине волны, для которой выполнится условие максимума (2. 21). При использовании монохроматического источника пластинка будет казаться либо окрашенной, либо темной в зависимости от того, какое из условий (2. 21) и (2. 22) реализуется при падении пучка под углом.
Возможность интерференционного гашения волн, отраженных от верхней поверхности пластинки, волнами, отраженными от её нижней поверхности, используется с целью просветления оптических деталей (просветления оптики), например, объективов фотоаппаратов. Энергия обеих отраженных волн «передается» волнам, прошедшим через систему, аналогичную изображенной на рис.
Интерференционная картина, возникающая в опыте, соответствующем рис. 12, локализована в бесконечности, так как лучи и параллельны друг другу. Находящимися в бесконечности кажутся и два мнимых источника, определяемые системами лучей, отраженных соответственно от верхней и нижней граней пластинки. Расположив на пути лучей и и им аналогичных собирающую линзу (на рис. 12 не показана), можно получить на экране, удаленном от неё на фокусное расстояние, интерференционные полосы, каждая из которых соответствует лучам, упавшим на пластинку под одним и тем же, но разным для разных полос углом. Поэтому интерференционные полосы в данном случае называют полосами равного наклона.
Уберём теперь линзу из схемы, изображённой на рис. В таком случае свет от источника упадёт на пластинку расходящимся пучком (рис. 14). Происхождение лучей и в новой ситуации такое же, как и двух предыдущих (рис. 12, 13). Однако теперь эти лучи не параллельны друг другу, а расходятся из точки С. Система лучей, отраженных от верхней поверхности пластинки, определяет положение одного, а система лучей, отраженных от нижней грани (аналогичных по происхождению ), — положение другого из мнимых когерентных источников. Оптическая разность хода лучей и в этом случае рассчитывается по формуле (2. 30). Однако положение точки теперь определяется условием , а не , как на рис.
Интерференционная картина будет иметь вид концентрических колец, центры которых совпадают с основанием перпендикуляра, опущенного из источника на верхнюю грань пластинки, на которой картина и локализована. На одном кольце будут лежать точки выхода лучей, прошедших внутри пластинки одинаковые расстояния. В силу этого обстоятельства систему полос, наблюдаемых в рассматриваемой схеме, называют полосами равной толщины.
Если — источник монохроматических волн, то в интерференционной картине чередуются светлые и темные кольца. При использовании источника белого света интерференционные полосы представляют собой радужные кольца.
Полосы равной толщины можно получить и при освещении параллельным пучком лучей клина с малым углом , изготовленного из материала с показателем преломления. Разность хода лучей и , происхождение которых ясно из рис. 15, также определяется формулой (2. 30).
Получаемые в этом случае интерференционные полосы параллельны ребру клина, локализованы на его поверхности и представляют собой геометрические места точек, в которые приходят волны, прошедшие одинаковый путь внутри клина. Будут ли они радужно окрашенными или составят систему светлых и темных полос, как и ранее, определяется спектральным составом падающего излучения.
Разновидностью полос равной толщины являются кольца Ньютона, локализованные на поверхности воздушного клина с переменным углом наклона (рис. 16).
Особое место в физике и технике занимает интерференционная схема Майкельсона (рис. 17).
Именно с помощью интерферометра такого типа был впервые установлен факт исключительной важности: скорость света в направлениях вдоль и поперек земной орбиты одинакова. Интерферометрами называют приборы, использующие явление интерференции для прикладных целей.
Свет от источника параллельным пучком направляется на светоделительную пластинку (полупрозрачное зеркало) П, установленную под углом 450 к оси пучка. Часть его проходит к зеркалу и, отразившись от него, снова возвращается к пластинке П, отражается от неё и идёт к наблюдателю. Та часть пучка, которая после отражения от пластинки П прошла к зеркалу , отразившись от него, проходит сквозь пластинку П к наблюдателю. Системы волн, пришедшие к наблюдателю от зеркал и , интерферируют между собой.
В этой схеме можно получить полосы равного наклона, если плоскости зеркал взаимно перпендикулярны, или полосы равной толщины, если угол между зеркалами близок, но не равен.
Обратим внимание на то, что луч 1 проходит через светоделительную пластинку П трижды, в то время как луч 2 – только один раз. Чтобы избежать большой разности хода между лучами и , по ходу луча 2 располагается компенсирующая пластинка К.
А каков смысл выражения «большая разность хода»?
Монохроматические волны являются математической идеализацией, удобной для теоретических расчетов, но не реализующейся в действительности. Для их излучения источник должен представлять собой «вечный двигатель», колеблющийся с постоянной частотой. Реальные же источники волн функционируют в течение времени, ограниченного либо желанием наблюдателя (захотел – и выключил генератор), либо физической природой процессов. Так, оптическое излучение атомов возникает при их переходе между двумя возбужденными состояниями или между возбужденным и основным состояниями. Такой переход совершается за ~ 10-8 – 10-10 с, время — очень малое по сравнению с вечностью. Уже по этой причине излучение атома не является монохроматическим и, в лучшем случае, может быть представлено неким «обрывком синусоиды», называемым цугом волн. Если оптическая разность хода волн, полученных из одного цуга длиной (- скорость света в вакууме), не превышает величины (), то в области интерференции имеет место суперпозиция когерентных цугов, полученных из одного исходного цуга. Если же , то в области интерференции накладываются некогерентные между собой цуги волн, излученных разными атомами, и интерференционная картина не стационарна во времени. В теории интерференции время называют временем когерентности, а расстояние — длиной когерентности излучения. Ограничения, накладываемые конечностью времени когерентности, связывают с понятием временной когерентности волн.
С увеличением разности хода от нуля до происходит постепенное понижение контрастности
интерференционной картины, что объясняется различием времен когерентности излучений цугов, испускаемых как одним элементарным излучателем (атомом), так и разными излучателями. При этом имеет место неполная корреляция хаотических изменений фаз складываемых колебаний, в связи с чем говорят об их частичной когерентности.
Помимо рассмотренной выше временной когерентности, используют понятие пространственной когерентности, характеризующей степень корреляции результатов интерференции в данной точке поля интерференции для разных точек протяженного источника.
В заключение приведем далеко не полный перечень задач, решаемых с помощью интерференционных приборов. Интерферометры применяются ля контроля правильности формы и микрогеометрии плоских, сферически и сложных поверхностей, контроля плоскопараллельности прозрачных пластин, измерения больших и малых перемещений, длины концевых мер, размеров деталей, определения длины волны излучения, показателей преломления и величины деформации прозрачных материалов, для астрономических измерений (звездные интерферометры Майкельсона и Линника) и других целей. Подробную информацию об устройстве интерферометров различного типа и методике их использования для перечисленных измерений можно найти, например, в книге Коломийцова. «Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение».
Калитеевский Н. Волновая оптика. – М. : Наука, 1971. – 376 с.
Китайгородский А. Фотоны и ядра. – М. : Наука, 1979. – 208 с.
Коломийцов Ю. Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение. – Л. : Машиностроение, 1976. – 296 с.
Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:
Если период равен , (3)
Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:
Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в единицах длины. Отношение обозначается и называется волновым числом, т.
Информация на сайте предоставлена в справочных целях. По вопросам электромонтажных работ всегда консультируйтесь с квалифицированными лицами.
