ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА, ЕЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА
СВЕТ КАК ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА
Физическая природа света.
В рамках волновой теории свет представляет собой электромагнитные волны. Под светом в настоящее время понимают электромагнитное излучение оптического диапазона, включающего видимое, инфракрасное (ИК) и ультрафиолетовое (УФ) излучение.
Границы оптического диапазона, а также границы между его участками установлены на основе экспериментальных данных и не являются абсолютно точными. Диапазон видимых длин волн: 380 нм = =760 нм, частота колебаний порядка Гц, период колебаний с (фемтосекунды).
Электромагнитная волна – колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью.
Математическое описание оптических явлений строится на основе базовых уравнений электромагнетизма – уравнениях Максвелла.
Из уравнений Максвелла следует
1) факт существования электромагнитных волн,
2) распространение электромагнитных волн в вакууме со скоростью
3) распространение электромагнитных волн в однородной изотропной среде со скоростью
4) Частные решения в виде плоской и сферической волн
ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА, ЕЕ ПАРАМЕТРЫ И СВОЙСТВА
Плоская монохроматическая волна– частное решение Уравнений Максвелла. Напряженность электрического поля такой волны описывается выражением:
– волна распространяется вдоль оси z,
– волна распространяется в направлении, задаваемом вектором. Здесь – волновой вектор, длина которого равна волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны (т. с нормалью к волновому фронту).
В комплексном виде
Параметры плоской монохроматической волны. (см. рис 1).
– амплитуда волны, в общем случае, комплексная.
— фаза волны,
– начальная фаза волны,
– циклическая частота волны,
, где — частота волны (Гц),
, где – период волны,
– волновой вектор, направлен в направлении распространения волны (в частном случае – вдоль оси z), перпендикулярно к волновой поверхности (поверхности равных фаз).
— волновое число, ,
— длина волны или ее пространственный период, υ – фазовая скорость волны (скорость распространения волнового фронта волны)
где n — показатель преломления среды, — длина волны в вакууме, величина Δ, равная произведению показателя преломления на геометрическую длину пути Δ = nz , называется оптической длиной пути.
Свойства плоской монохроматической волны
Волна монохроматическая – колебания напряженностей электрического и магнитного полей происходят на одной частоте, т. е гармонические (по закону sin, cos).
Волна плоская –волновая поверхность (поверхность равных фаз, или поверхность постоянной фазы) – плоскость(см. рис 2), т. удовлетворяет уравнению плоскости: z=const (в общем случае ). Волновой фронт – это волновая поверхность на границе между возмущенной и невозмущенной частью пространства.
Поперечность электромагнитной волны – колебания векторов и перпендикулярны направлению распространения волны (см. рис. 2, 3, 4);
Рис. Волновой фронт (плоскость) и структура плоской монохроматической волны (правая тройка векторов)
Рис. Волновой фронт (сфера) и структура сферической монохроматической волны (правая тройка векторов)
Правая тройка векторов – векторы , образуют правую ортогоналъную тройку векторов(cм. рис. 2, 3
Связь между векторами и – синфазность колебаний этих векторов(см. рис. 4);
Рис. Синфазность колебаний напряженностей электрического и магнитного полей
Связь между амплитудами векторов и :
Поляризация электромагнитной волны. Поляризация – свойство света, обусловленное поперечностью электромагнитных волн. Поляризация характеризует структуру колебаний вектора напряженности электрического поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (cм. рис. Конец вектора в этой плоскости может описывать различные фигуры (линию, эллипс, круг). Если с течением времени эти фигуры не изменяются, свет полностью поляризован (линейно, эллиптически, циркулярно). Если состояния поляризации (фигуры) с течением времени изменяются случайным образом, свет не поляризован;
Рис. Состояния поляризации плоской монохроматической волны
Интенсивность плоской монохроматической волны пропорциональна квадрату ее амплитуды;
Связь между волной и лучом. Световые лучи – это нормали к волновой поверхности (поверхности постоянной фазы волны) (cм. рис 6).
Рис. Волновые поверхности в различные моменты времени и световые лучи: в случае плоской (cлева) и сферической (справа) волн
Лекция 25. Механические и электромагнитные
волны
Учебник:
Трофимова Т. Курс физики : учеб. пособ. для вузов / Т. Трофимова. — М. : Академия, 2007. — с. 281-293. Курочкин А.
Поперечные и продольные волны
Поперечная волна – волна,
в которой частицы среды
колеблются
в
направлениях,
перпендикулярных
к
направлению распространения волны. Поперечные волны могут возбуждаться в средах, в которых
возникают упругие силы при деформации сдвига, т. в
твёрдых телах. Продольная волна – волна,
в которой частицы среды
колеблются вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых
возникают упругие силы при деформации сжатия и
растяжения, т. в твёрдых, жидких и газообразных телах
Волны обладают различной формой. Одиночная волна
(импульс)
Короткое возмущение, не имеющее регулярного характера
Цуг волн
Ограниченный ряд повторяющихся возмущений
Гармоническая
волна
Бесконечная синусоидальная волна, в которой изменение
состояния среды происходит по закону синуса или косинуса
Вопрос. Как инициировать возникновение упругой
гармонической волны?
Ответ. Необходимо возбудить в каком-либо месте
упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды
колебания её частиц. В результате, вследствие
взаимодействия между частицами, это колебание будет
распространяться в среде от частицы к частице со
скоростью υ. Важно: частицы среды, в которой распространяется
волна, не вовлекаются волной в поступательное
движение, они лишь совершают колебания около
своих положений равновесия
Гармоническая поперечная волна,
распространяющаяся со скоростью υ вдоль оси x;
Приведена зависимость между смещением ξ(x,t) частиц
среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием x
этих частиц от источника колебаний O для какого-то
фиксированного момента времени t
В чём различие между графиками волны и колебаний?
Зависимость смещения
ξ(x, t) ВСЕХ частиц среды
от расстояния x
до источника колебаний в
данный момент времени t. Зависимость смещения
x(t) ДАННОЙ частицы среды
от времени t
Длина волны λ –
• расстояние
между
ближайшими
частицами,
колеблющимися
в
одинаковой фазе. • расстояние на которое распространяется
волна за один период. T
м
υ – скорость волны;
T – период волны;
ν – частота волны. При распространении упругой гармонической волны
колеблются не только частицы, расположенные на оси x, а
совокупность частиц, заключённых в некотором объёме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс
охватывает всё новые и новые части пространства
Волновой фронт – геометрическое место точек, до которых
доходят колебания к моменту времени t. Волновой фронт волны представляет собой ту
поверхность, которая отделяет часть пространства, уже
вовлечённую в волновой процесс, от области, в которой
колебания ещё не возникли. Волновая поверхность – геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе. Волновую поверхность можно провести через любую
точку пространства, охваченного волновым процессом
Волновой фронт
Волновая поверхность
в каждый момент
времени только один
волновых поверхностей
существует
бесконечное множество
всё время перемещается
остаются неподвижными
Волновые поверхности могут иметь в простейшем случае
плоскую или сферическую формы. Плоская волна имеет волновые поверхности
параллельных друг другу плоскостей. Сферическая волна состоит из множества концентрических
11
сфер. в
виде
Бегущие волны
Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве
энергию. Рассмотрим плоскую волну, колебания которой носят
гармонический характер, а ось x совпадает с направлением
распространения волны. Колебания
частиц в
плоскости x=0
Колебания
частиц в
плоскости x
( x 0, t ) A cos t
x
( x, t ) A cos t
Колебания частиц будут отставать по времени от колебания
x
источника на ;
υ – скорость распространения волны
Уравнение плоской волны
x
( x, t ) A cos t 0
A=const – амплитуда волны;
ω – циклическая частота;
φ0 – начальная фаза волны;. t x – фаза плоской волны. 0
Волновое число k – показывает, сколько длин волн
укладывается на отрезке 2π. 2
2 1
k. м
13
( x, t ) A cos t kx 0
Применим формулу Эйлера
i
e cos i sin ,
i 1
2
получим
( x, t ) Ae
i t kx 0
где физический смысл имеет лишь действительная часть
Допустим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. x
t 0 const. Возьмём производную от выражения
d x
t 0. dt
1 dx
1
0
dt
dx. dt
где υ (фазовая скорость) – скорость перемещения фазы
волны
В общем случае распространение волн в однородной
изотропной среде описывается волновым уравнением –
дифференциальным уравнением в частных производных
1
2 2 2 2
2
x
y
z
t
2
2
2
2
или
1
2 2 ,
t
2
где υ — фазовая скорость;
2
2
2
2 2 2 – оператор Лапласа. x y z
16
Волновое уравнение
Уравнение
любой
волны
есть
решение
некоторого
дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые
частные производные по координатам и времени от функции
( x, y, z , t ) A cos t kr ,
описывающей плоскую волну. где
kr k x x k y y k z z
Продифференцировав данное уравнение дважды по каждой из
переменных, получим:
17
( x, y, z , t )
A cos t k x x k y y k z z k x A sin t kr ,
x
x
2 ( x, y, z , t )
2
2
k
A
sin
t
k
x
k
y
k
z
k
A
cos
t
kr
k
x
x
y
z
x
x ( x, y , z , t )
2
x
x
Получим аналогично
2 ( x, y, z , t )
2
k
y ( x, y , z , t );
2
y
2 ( x, y, z , t )
2
k
z ( x, y , z , t )
2
z
( x, y, z , t )
A cos t k x x k y y k z z A sin t kr ,
t
t
2 ( x, y, z , t )
A sin t k x x k y y k z z 2 A cos t kr 2 ( x, y, z , t )
2
t
t
Сложим первые три уравнения
2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z, t )
2
2
2
k
(
x
,
y
,
z
,
t
)
k
(
x
,
y
,
z
,
t
)
k
x
y
z ( x, y , z , t )
2
2
2
x
y
z
18
2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t )
2
2
2
k
k
k
( x, y , z , t )
x
y
z
2
2
2
x
y
z
2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t )
2
k
( x, y , z , t )
x 2
y 2
z 2
2 ( x, y, z , t )
2
( x, y , z , t )
2
t
Приравнивая правые части уравнений, получим
2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z, t ) 1
2 ( x, y, z , t );
2
2
2
x
y
z
k
2 ( x, y, z , t ) 1
( x, y, z , t );
2
2
t
2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) k 2 2 ( x, y, z , t )
2
x 2
y 2
z 2
t 2
2 1
2 2 2 2 2 2
k2
2
2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 2 ( x, y, z , t ) 1 2 ( x, y, z, t ) — волновое уравнение. 2
2
2
2
x
y
z
t 2
19
Электромагнитные волны
Электромагнитная волна — переменное электромагнитное
поле, распространяющееся в пространстве с конечной
скоростью. Источником электромагнитных волн может быть:
1. Любой электрический колебательный контур;
2. Проводник,
по
которому
течёт
переменный
электрический ток;
3. Заряженная частица, движущаяся с ускорением. Для возбуждения электромагнитных волн необходимо
создать в пространстве переменное электрическое поле или
переменное магнитное поле изменяющееся с большой
частотой
Для получения
электромагнитных волн
непригодны
закрытые колебательные контуры,
т. в них электрическое поле сосредоточено
между обкладками конденсатора, а
магнитное – внутри катушки индуктивности. Необходимо, чтобы объём пространства,
в котором создаётся ЭМП,
был достаточно велик
Опыты Герца
Как можно получить открытый колебательный
контур?
1. Уменьшить число витков катушки;
2. Уменьшить площадь обкладок конденсатора;
3. Раздвинуть обкладки конденсатора. закрытый
колебательный
контур
Герц,
Генрих Рудольф
(1857-1894)
открытый
колебательный
контур
Для получения незатухающих колебаний необходимо создать
систему, которая обеспечивала подачу энергии с частотой, равной
частоте собственных колебаний контура
индуктор
Вибратор Герца
Состоит из:
Индуктора (источника высокого напряжения)
Двух медных стержней, с закреплёнными на их
концах латунными шариками
Двух подвижных металлических сфер или
пластин, играющих роль конденсатора
Искрового промежутка
• При подаче на стержни высокого напряжения от индуктора в
промежутке проскакивала искра. • Искра закорачивала промежуток, и в вибраторе возникали затухающие
электромагнитные колебания. • За время горение искры успевало совершиться большое число
колебаний, порождавших цуг электромагнитных волн. • Перемещая сферы или пластины вдоль стержней, можно было изменять
индуктивность и ёмкость цепи, т. изменять длину волны. 23
• Длина волны приблизительно в 2 раза превышала длину вибратора.
Шкала электромагнитных волн
24
Диапазон электромагнитных волн
Электромагнитные волны
отличаются друг от друга
по способам их генерации и регистрации
Дифференциальное уравнение ЭМВ
Из уравнений Максвелла следует, что для однородной и
изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих
ЭМП, векторы напряжённостей E и H переменного ЭМП
удовлетворяют волновому уравнения типа:
1 2 E
E 2 2 ;
t
1 2 H
H 2
,
2
t
B 0 H
2
2
2
где 2 2 2 – оператор Лапласа;
x y z
υ – фазовая скорость
ЭМП могут существовать в виде ЭМВ. Фазовая скорость υ ЭМВ определяется выражением:
где
c
1
0 0
c
1
0 0
;
ε0 – электрическая постоянная;
μ0 – магнитная постоянная;
ε – электрическая проницаемость среды;
μ – магнитная проницаемость среды. В вакууме (ε=1, μ=1) скорость распространения ЭМВ равна
скорости света. В веществе εμ>1, поэтому скорость распространения ЭМВ
в веществе всегда меньше, чем в вакууме
Следствия теории Максвелла. Свойства ЭМВ. Векторы E и H напряжённостей электрического и
магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и
лежат
в
плоскости,
перпендикулярной
вектору
скорости распространения волны, причём векторы E , H и
образуют правовинтовую систему
Решением уравнений будут являться уравнения
E y E0 cos t kx ;
H z H 0 cos t kx ,
E0 и H0 – амплитуды напряжённостей электрического и
магнитного полей волны;
ω – циклическая частота волны;
k – волновое число;
φ – начальные фазы колебаний в точках с координатой
x=0
Энергия и импульс ЭМВ
Объёмная плотность w энергии ЭМВ равна
w wE wH
Подставим
0 E 2
2
0 H 2
2. 0 E 0 H. Получим, что объёмные плотности энергии электрического и
магнитного полей в каждый момент времени одинаковы
wE wH
w 2 wE 0 E 2 0 0 EH. Домножив на υ, получим
S w EH
S w E H
E H
— вектор Умова-Пойнтинга
(вектор плотности потока
электромагнитной энергии)
S EH sin 90 EH
1. Вектор S
направлен в сторону распространения
электромагнитной волны,
2. Модуль вектора
равен энергии, переносимой
S
электромагнитной волной за единицу времени через
единичную
площадку,
перпендикулярную
направлению распространения волны
Частота ЭМВ при переходе из одной среды в другую остаётся
постоянной. 1 2 const
Интенсивность I ЭМВ в данной точке пространства есть модуль
среднего по времени значения плотности потока энергии,
переносимой световой волной. I S
t
w
EH
t
Интенсивность I – величина, определяемая средней по времени
энергией, переносимой ЭМВ в единицу времени сквозь
единичную
площадку,
перпендикулярную
направлению
распространения волны. W
P
I
S t S
33
Можно показать, что
I S
t
1 0 2
2
Emax const Emax
2 0
I
A
2
Интенсивность распространения света в однородной среде
пропорциональна квадрату амплитуды ЭМВ
Отражение и преломление ЭМВ на границе раздела
двух сред
n1
n1
n2
n2
n1 n2
n1 n2
Мгновенный снимок колебаний векторов напряжённости
электрического и магнитного поля волны при её отражении от
оптически более плотной среды
E
E
Вид сверху
H
H
35
n1
Падающая ЭМВ
Отражённая ЭМВ
n2
Преломлённая ЭМВ
n1 n2
Колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах
происходят на границе раздела в одинаковой фазе – при
прохождении волны через эту границу фаза не претерпевает
скачка. Eпрелом
2n1
Eпад
n1 n2
36
n1
Падающая ЭМВ
Отражённая ЭМВ
n2
Преломлённая ЭМВ
n1 n2
При отражении света от оптически более плотной среды (n2>n1)
фаза волны претерпевает скачок волны на π. Изменение фазы на π равносильно потере полуволны при
отражении. Eотр
n1 n2
Eпад
n1 n2
37
ЭМВ переносят не только энергию, но и импульс. W
pим
c
Если тело полностью поглощает падающую на него энергию, то
давление, оказываемое ЭМВ на тело, равно среднему значению
объёмной плотности энергии в падающей ЭМВ. pдав w
Давление ЭМВ объясняется тем, что
1. под действием электрического поля волны заряженные
частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и
2. подвергаются со стороны магнитного поля волны действию
сил Лоренца
Эффект Доплера
Изменение частоты (длины волны) излучения,
воспринимаемой наблюдателем (приёмником),
вследствие движения источника излучения и/или
движения наблюдателя (приёмника). Источник
и
приёмник
покоятся
относительно среды (υист= υпр=0). Доплер, Кристиан
(1803-1853)
Длина волны в рассматриваемой среде
T. 0
Волна достигнет приёмника и вызовет
чувствительного элемента с частотой
0. T
колебания
его
Частота ν регистрации приёмника равна
частоте ν0 излучающего источника
Приёмник приближается к источнику, а источник
покоится, т. υпр>0, υист=0. Скорость распространения волны относительно приёмника
станет равной υ+υпр. Частота в этом случае будет равна
пр пр пр 0
,
T
т. частота колебаний, воспринимаемых приёмником, в
пр
раз больше частоты колебаний источника
Источник приближается к приёмнику, а приёмник
покоится, т. υист>0, υпр=0. Скорость распространения
колебаний зависит лишь от свойств среды. Звуковая волна, излучённая источником
пройдёт путь к приёмнику λ=υT, независимо
от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдёт в
направлении волны расстояние υистT. длина волны λ′ в направлении движения
сократится и станет равной
‘ истT ист T
41
Тогда
0. ‘ ист T ист
частота ν колебаний, воспринимаемых приёмником,
увеличится в
ист
раз
Источник и приёмник движутся относительно друг
друга. Частота колебаний, регистрируемых приёмником
пр
пр
«верхний знак»,
если при движении
источника или приёмника
происходит сближение. 0
,
«нижний знак»,
если происходит взаимное
удаление
источника и приёмника
Понятие волнового процесса7. Плоские волны в идеальной среде7. Плоские волны в реальных средах7. Распространение волнового пакета. Групповая скорость7. Поляризация ЭМВ
Понятие волнового процесса
Мир, в котором мы живем, — мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов?
Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:
- Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ — это скорость света.
- Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.
- Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.
Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.
Плоская ЭМВ в идеальной среде
Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.
Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т. в пространстве за пределами зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.
Из уравнения (7. ) выразим Е и подставим в (7
Точно так же из второго уравнения получаем уравнения для вектора Е:
В развернутом виде запишем уравнения:
Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.
источник очень далеко, то расстояния до точек можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т
Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:
Выделим составляющую поля c амплитудой А:
Выделим из комплексного выражения действительную часть:
Фотография процесса в момент времени t = t1, t = t2. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой? Выясним это:
Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф1 = Ф2
— называют пространственную периодичность волнового процесса.
— это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или — это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.
Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:
Спроектируем уравнение на оси координат:
В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости плоскости распространения:
Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.
Ориентация векторов и.
Для плоской ЭМВ всегда.
Покажем, что величина = 0:
Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются 2 взаимно перпендикулярных поля ( и ). Как определить направление переноса энергии?
Плоские волны в реальных средах
Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать. Любая реальная среда — набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды.
Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.
В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:
Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры — комплексные.
Амплитудные соотношения.
С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде:
поскольку величины и — комплексные, то k — тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести? Рассмотрим волновой процесс:
Параметр получил название коэффициента затухания. — фазовая постоянная — вещественная часть волнового числа.
Понятие было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2 и считать, что это. Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием можно пользоваться условно.
Количественная оценка.
Рассмотрим поведение амплитуды в точках:
во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля.
Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз
(вектор и ).
Изменение поля. На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н1 = А
Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”
в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение и в реальной среде:
Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между и. В реальных средах всегда и сдвинуты на некоторую величину.
Волновой процесс в реальных средах
Расчет коэффициента затухания и фазовой постоянной в реальной среде
Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.
Реальная cреда немагнитный диэлектрик.
1) Из общих выражений для k:
Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т. надо избавиться от радикалов:
Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.
Какой знак взять + или — ?
Исходя из физического смысла оставляем только +, т. — будет отрицательная.
для решение аналогичное:
Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость Vф от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.
Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:
1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:
совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с параметрами ,.
Для :
2) Среда с большими потерями.
Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями).
Групповая скорость плоских волн
Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается?
В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью w 1 w 2 w 3. С какой скоростью передается сигнал?
Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:
Рассмотрим сложение двух сигналов:
При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в пространстве фронт max амплитуд.
Vгр по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с групповой скоростью связано перемещение энергии:
Vф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.
Vф — скорость изменения состояния фазового фронта.
Пример: Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.
Поляризация плоских электромагнитных волн
Под поляризацией будем понимать заданную в пространстве ориентацию вектора или. Различают 3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной линии прямой), круговую поляризация (вектор или вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).
Возьмем два ортогональных колебания:
— показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.
Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний?
1) А В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.
Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом.
Два ортогональных колебания по определению:
Сложение двух ортогональных линейно — поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией).
Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.
3) В общем случае, когда А В, и фазы разные, вектор или вращается по эллипсу.
Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление.
Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные устройства: служебная связь — вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация — режим передачи, горизонтальная — режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации.
Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве.
Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием решения системы уравнений Максвелла. Согласно этой теории следует, что переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна:
где — скорость света в вакууме, , — электрическая и магнитная постоянные, , — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.
Электромагнитные волны — поперечные волны. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу. Вектор скорости волны и векторы Е и Н образуют правую тройку векторов (Рисунок 2.
Для сравнения ориентации тройки векторов , Е и Н на рисунке приведено расположение осей декартовой системы координат. Такое сопоставление уместно и в дальнейшем будет использовано для определения проекций векторов Е и Н на координатные оси.
Взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе (их колебания синфазные). Модули этих векторов связаны соотношением:
которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей.
По форме волновых поверхностей волны могут быть плоские, эллиптические, сферические и т.
Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты. Монохроматическая волна не ограничена в пространстве и во времени. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты. Например, для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ, как показано на рисунке 2. ,ее уравнение имеет вид:
Такие волны называются плоско (или линейно) поляризованными волнами.
Все сказанное о стоячих волнах в упругих средах относится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендикулярными векторами Е и Н.
Стоячая электромагнитная волна состоит из двух стоячих волн — магнитной и электрической, колебания которых сдвинуты по фазе на.
Энергия электромагнитных волн. Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде задается соотношением: с — скорость света в вакууме.
В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления ОY, напряженность электрического поля задается уравнением:
соответственно объемная плотность энергии этой волны
Значение объемной плотности энергии волны меняется за период от 0 до. Среднее за период значение энергии равно:
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова — Пойнтинга:
Для линейно поляризованной монохроматической волны вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения волны и численно равен:
Интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения вектора Пойнтинга за период его полного колебания:
Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина, численно равная энергии, переносимая волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.
Интенсивность бегущей монохроматической волны: — фазовая скорость волны, среднее значение объемной плотности энергии поля волны.
Интенсивность света (электромагнитных волн, рассматриваемых в оптике) прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний вектора напряженности Е поля световой волны.
Плоские электромагнитные волны и их свойства
Английский физик Джеймс Клерк Максвелл в 1864 г. впервые получил уравнения, описывающие динамику новой формы материи – электромагнитного поля. Теория электромагнитного поля Максвелла основана на следующих положениях.
Всякое изменение магнитного поля создает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле (рис. 1а). Линии напряженности вихревого электрического поля расположены в плоскости, перпендикулярной линиям индукции переменного магнитного поля, и охватывают их; они образуют с вектором «левый винт» (их направление соответствует правилу Ленца).
Всякое изменение электрического поля возбуждает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле, линии индукции которого расположены в плоскости, перпендикулярной линиям напряженности переменного электрического поля, и охватывают их (рис. 1б). Линии индукции возникающего магнитного поля образуют с вектором «правый винт».
Переменные электрическое и магнитное поля могут существовать в пространстве в отрыве от зарядов и токов проводимости как единое электромагнитное поле. В природе электрические и магнитные явления выступают как две стороны единого процесса. Деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное зависит от выбора системы отсчета. Действительно, вокруг зарядов, покоящихся в одной системе отсчета, существует только электрическое поле; однако эти же заряды будут двигаться относительно другой системы отсчета и порождать в этой системе отсчета, кроме электрического, еще и магнитное поле. Таким образом, теория Максвелла связала воедино электрические и магнитные явления.
Если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электрическое или магнитное поле, то в окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрических и магнитных полей, распространяющихся от точки к точке. Оба эти поля являются вихревыми, причем векторы и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Процесс распространения электромагнитного поля схематически показан на рис. Этот процесс, являющийся периодическим во времени и пространстве, представляет собой электромагнитную волну.
Максвелл показал, что скорость электромагнитных волн в вакууме
где e0 и m0 – электрическая и магнитная постоянные, e0 = 8,85 · 10–12 Ф/м, m0 = 4p · 107 Гн/м. Эта скорость совпадает со скоростью света в вакууме. На этом основании Максвелл выдвинул смелое предположение, что световая волна – это лишь разновидность электромагнитных волн.
Основные свойства электромагнитных волн, распространяющихся в пустом пространстве, можно получить, исходя из фундаментальных законов электромагнитной теории Максвелла. Наибольшей простотой отличаются плоские монохроматические волны. Плоская монохроматическая волна – это идеализация. Несмотря на ограниченную применимость такой идеализированной модели, она во многих случаях полезна для описания реальных волн.
В плоских монохроматических волнах зависимость векторов и от координат и времени имеет один и тот же вид и описывается гармонической функцией:
Волновой вектор определяет направление распространения поверхности постоянной фазы (волновой поверхности). Его модуль , где – фазовая скорость волны.
Непосредственно из теории Максвелла следует:
Векторы и перпендикулярны направлению распространения волны (вектору ).
Векторы и ортогональны друг другу ( ^ ) и образуют с вектором правую тройку векторов. Таким образом, плоские электромагнитные волны являются поперечными.
В электромагнитной волне модули векторов и связаны между собой. Это соотношение выполняется в любой точке пространства в любой момент времени.
Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в положительном направлении оси z, вектор направлен по оси у, тогда вектор направлен по оси x.
Уравнение этой волны запишется так:
На рис. 3 дан «моментальный снимок» такой волны. Из рисунка видно, что колебания электрического вектора происходят вдоль оси у, колебания магнитного вектора – вдоль оси x, а волна распространяется вдоль оси z со скоростью. В фиксированной точке пространства векторы изменяются со временем по гармоническому закону, причем эти изменения происходят в одной фазе, то есть они достигают максимума и обращаются в нуль в одних и тех же точках. При этом если вектор направлен в положительную сторону вдоль оси y, то вектор направлен в отрицательную сторону вдоль оси x.
Если направление распространения волны изменится на противоположное, то уравнение волны примет вид:
«Моментальный снимок» такой волны приведен на рис. Расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах, есть длина волны l.
Полеты управляемых космических аппаратов на далекие расстояния к планетам Солнечной системы продемонстрировали, что скорость распространения электромагнитных волн велика, но не бесконечна; она составляет 300 000 км/с. Например, команды, передаваемые в виде радиоволн космическим аппаратам, находящимся на Луне, приходят туда с запаздыванием по времени примерно на 1 с.
Мы выяснили, что в электромагнитной волне колеблются две векторные величины: и. Как показывает опыт, физическое, фотохимическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора. Поэтому в дальнейшем, говоря о световой волне, мы чаще будем говорить только о векторе напряженности электрического поля.
Первое экспериментальное подтверждение электромагнитной теории Максвелла было дано в опытах Г. Герца в 1887 г. , через восемь лет после смерти Максвелла. Для получения электромагнитных волн Герц применил прибор, состоящий из двух стержней, разделенных искровым промежутком (вибратор Герца). При определенной разности потенциалов в промежутке между ними возникала искра – высокочастотный разряд, возбуждались колебания тока и излучалась электромагнитная волна. Для приема волн Герц применил резонатор – прямоугольный контур с промежутком, на концах которого укреплены небольшие медные шарики (рис.
Генрих Герц родился 22 февраля 1857 г. в Гамбурге в семье адвоката. Уже в юности у него появились склонности к разным ремеслам – он выучился столярному делу, умел работать на токарных станках. В восемнадцать лет, получив аттестат зрелости, он поехал в Мюнхенский политехнический институт. После двух лет занятий Герц обнаружил, что гораздо больше его привлекает научная работа в области физики. Он перешел в Берлинский университет, где продолжил изучение математики и физики. Прилежного студента заметил известный профессор Герман фон Гельмгольц и пригласил его в свою лабораторию в качестве практиканта. Позже он доверил ему самостоятельную задачу, за решение которой в 1879 г. Герц получил золотую медаль университета. В 1883 г. он стал приват-доцентом в Нильском университете, а спустя два года был назначен штатным профессором физики в политехническом институте г. Карлсруэ. Здесь он проводил свои исследования электромагнитных волн, которые принесли ему всемирную известность. Опыты Герца имели большое значение для признания теории Максвелла и ее утверждения. Генрих Герц умер 1 января 1894 г. в Бонне. Ему не исполнилось еще и 37 лет.
Александр Степанович Попов (1859–1906) родился 16 марта 1859 г. на Урале (поселок Турьинские Рудники) в семье небогатого священника. С малых лет у Александра пробудился интерес к технике. В семинарии он умудряется все свободное время отдавать изучению естественных наук, за что получает от своих товарищей прозвище «математик». Закончив обучение в духовной семинарии, Попов отказывается от карьеры священника и, сдав вступительные экзамены, становится в 1977 г. студентом физико-математического факультета Петербургского университета.
7 мая 1895 г. произошло событие, сыгравшее исключительную роль в развитии всей человеческой цивилизации. В этот день А. Попов на заседании Русского физико-химического общества в Петербурге продемонстрировал первый в мире радиоприемник, который принимал знаки азбуки Морзе без помощи проводов. В начале 1897 г. Попов уже осуществил радиопередачи между Кронштадтским берегом и кораблем на расстояние 640 метров. В 1899 г. он со своим ближайшим помощником Петром Николаевичем Рыбкиным осуществил радиоприем дальностью 50 километров.
В 1908 г. , уже после его смерти (он умер 13 января 1906 г. ), было установлено, что «А. Попов по справедливости должен быть признан изобретателем телеграфа без проводов при помощи электрических волн».
В своих опытах Герц не только экспериментально доказал существование электромагнитных волн, но и изучил все явления, типичные для любых волн: отражение от металлических поверхностей, преломление в большой призме из диэлектрика, интерференцию бегущей волны с отраженной от металлического зеркала и т. На опыте удалось также измерить скорость электромагнитных волн, которая оказалась равной скорости света в вакууме. Эти результаты являются одним из веских доказательств правильности электромагнитной теории Максвелла, согласно которой свет представляет собой электромагнитную волну.
Вибратор Герца имел длину от 2,5 м до 1 м, что соответствовало волнам длиной от 5 до 2 м, то есть полученные Герцем волны в миллион раз превосходили по длине световые волны.
В 1895 г. Лебедев, пользуясь миниатюрными вибраторами, получил электромагнитные волны длиной около 2–6 мм. Опыты Герца сыграли решающую роль для доказательства и признания электромагнитной теории Максвелла. Через семь лет после Герца электромагнитные волны нашли применение в беспроволочной связи. Показательно, что русский изобретатель радиоАлександр Степанович Попов в своей первой радиограмме в 1896 г. передал два слова: «Генрих Герц».
Уравнение плоской бегущей волны
Для того чтобы характеризовать волны, используют волновое число ($k$), равное:
Используя волновое число, уравнение (1) можно записать как:
Используя формулу Эйлера, перейдя к комплексным величинам, уравнение плоской волны запишется как:
В уравнении (6) физический смысл имеет только действительная часть, но значок $Re$ при записи уравнения волны часто опускают, имея это ввиду.
Рассмотрим волновой процесс, в котором фаза не изменятся:
Найдем дифференциал от выражения (7), имеем:
Из уравнения (8) следует, что:
Так, скорость ($v$) распространения волны — это скорость перемещения фазы волны. Такая скорость носит название фазовой скорости.
Из уравнения (4) следует, что:
Если $v$ волны зависима от частоты колебаний, то такая волна подвержена дисперсии.
