Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы—чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко.
Понятие тонкой линзы
Так вот, линза считается тонкой, если её толщина MN очень мала. Нужно, правда, уточнить: мала по сравнению с чем?
Во-первых, предполагается, что MN C R1 и MN C R2. Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как «почти плоские». Этот факт нам очень скоро пригодится.
Во-вторых, MN C А, где A — характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и сможем корректно говорить о «расстоянии от предмета до линзы», не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние.
Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: Линза является тонкой, если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета.
Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис.
Рис. Обозначение тонкой собирающей линзы
Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис.
Рис. Обозначение тонкой рассеивающей линзы
В каждом случае прямая FF — это главная оптическая ось линзы, а сами точки F — её фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы.
Оптический центр и фокальная плоскость
Точки M и N, обозначенные на рис. 24, у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка O на рис. 25 и 4. 26, называемая Оптическим центром линзы. Оптический центр находится на пересечении линзы с её главной оптической осью.
Расстояние OF от оптического центра до фокуса называется Фокусным расстоянием линзы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой F. Величина D, обратная фокусному расстоянию, есть Оптическая сила линзы:
Оптическая сила измеряется в Диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила
D = o⅛ = 4 дптр-
Продолжаем знакомиться с новыми понятиями. Всякая прямая, проходящая через оптический центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется Побочной оптической осью. На рис. 27 изображена побочная оптическая ось — прямая OP.
Рис. Побочная оптическая ось, фокальная плоскость и побочный фокус
Плоскость π, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется Фокальной плоскостью. Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальные плоскости, расположенных симметрично относительно линзы.
Точка P, в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется Побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме F) есть побочный фокус — мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка F — фокус линзы — в связи с этим называется ещё Главным фокусом.
То, что на рис. 27 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побочной оптической оси, фокальной плоскости и побочного
фокуса совершенно аналогично определяются и для рассеивающей линзы — с заменой на рис. 27 собирающей линзы на рассеивающую.
Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются Параксиальными, то есть образуют достаточно малые углы с главной оптической осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изображения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими.
Ход луча через оптический центр
Как мы знаем из предыдущего раздела, луч, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется. В случае тонкой линзы оказывается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, также не преломляется!
Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра O Обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 28).
Угол преломления луча AB равен углу падения преломлённого луча BC На вторую поверхность. Поэтому второй преломлённый луч CD выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу AB. Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не изменяя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки.
Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки B, O и C фактически сольются в одну точку, и луч CD окажется просто продолжением луча AB. Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 29).
Это единственное общее свойство собирающих и рассеивающих линз. В остальном ход лучей в них оказывается различным, и дальше нам придётся рассматривать собирающую и рассеивающую линзу по отдельности.
Ход лучей в собирающей линзе
Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 30).
Пользуясь обратимостью световых лучей, приходим к следующему выводу: если в главном фокусе собирающей линзы находится точечный источник света, то на выходе из линзы получится световой пучок, параллельный главной оптической оси (рис. 31).
Оказывается, пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу Наклонно, тоже соберётся в фокусе — но в побочном. Этот побочный фокус P отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 32).
Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления пойдёт через главный фокус (рис. 33).
Если луч падает на линзу наклонно, то для построения его дальнейшего хода мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Вот через этот побочный фокус и пойдёт преломлённый луч (рис. 34).
В частности, если падающий луч проходит через фокус линзы, то после преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси.
Ход лучей в рассеивающей линзе
Переходим к рассеивающей линзе. Она преобразует пучок света, параллельный главной оптической оси, в расходящийся пучок, как бы выходящий из главного фокуса (рис. 35).
Наблюдая этот расходящийся пучок, мы увидим светящуюся точку, расположенную в фокусе F позади линзы.
Если параллельный пучок падает на линзу наклонно, то после преломления он также станет расходящимся. Продолжения лучей расходящегося пучка соберутся в побочном фокусе P, отвечающем тому лучу, который проходит через через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 36).
Этот расходящийся пучок создаст у нас иллюзию светящейся точки, расположенной в побочном фокусе P за линзой.
Теперь мы готовы сформулировать Правила хода лучей в рассеивающей линзе. Эти правила следуют из рисунков 4. 29, 4. 35 и 4.
Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления начнёт удаляться от главной оптической оси; при этом продолжение преломлённого луча пройдёт через главный фокус (рис. 37).
Если луч падает на линзу наклонно, то мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Преломлённый луч пойдёт так, словно он исходит из этого побочного фокуса (рис. 38).
Пользуясь правилами хода лучей 1-3 для собирающей и рассеивающей линз, мы теперь научимся самому главному — строить изображения предметов, даваемые линзами.
Тонкие линзы. Построение изображений
Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в предыдущем разделе, приводят нас к важнейшему утверждению.
Точка S’ называется Изображением точки S.
Если в точке S’ пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется Действительным. Оно может быть получено на экране, так как в точке S’ концентрируется энергия световых лучей.
Если же в точке S’ пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется Мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке S’ не сосредоточено никакой энергии. Напомним, что мнимое изображение возникает благодаря особенности нашего мозга — достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку. Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.
Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.
Собирающая линза: действительное изображение точки
Сначала рассмотрим собирающую линзу. Пусть A—Расстояние от точки S До линзы, F — фокусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: A > F и A < F (а также промежуточный случай A = f). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта.
Первый случай: A > F. Точечный источник света S расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 39).
Луч SO, идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём Произвольный луч SX, построим точку S’, в которой преломлённый луч пересекается с лучом SO, а затем покажем, что положение точки S’ не зависит От выбора луча SX (иными словами, точка S’ является Одной и той же для всевозможных лучей SX). Тем самым окажется, что Все лучи, исходящие из точки S, после преломления в линзе пересекаются в точке S’, и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая A > F.
Точку S’ мы найдём, построив дальнейший ход луча SX. Делать это мы умеем: параллельно лучу SX проводим побочную оптическую ось OP до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе P, после чего проводим преломлённый луч XP—До пересечения с лучом SO в точке S’.
Теперь будем искать расстояние B от точки S’ до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через А и F, т. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча SX.
Опустим перпендикуляры SA и S’A’ на главную оптическую ось. Проведём также SK параллельно главной оптической оси, т. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:
ASAO ~ AS’A’O, (4
ASXS‘ ~ AOPS’, (4
ASXK ~ AOPF
В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено):
AO (4. 6) SO = SS’ – OS’ = SS’ 1 C4∙T) SX _ 1 (4. 8) SK _ 1
OA’ = OS’ = OS’ = OS’ 1 = OP 1 = OF 1
Но AO = SK = a, OA’ = b, OF = f, так что соотношение (4. 9) переписывается в виде
Отсюда находим искомое расстояние от точки S’ до линзы:
B = F. 11)
Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча SX. Следовательно, любой луч SX после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку S’, и эта точка будет действительным изображением источника S.
Теорема об изображении в данном случае доказана.
Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника S пересекаются после линзы в одной точке — его изображении S‘,—для построения изображения достаточно взять Два наиболее удобных луча. Какие именно?
Если источник S не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:
• луч, идущий через оптический центр линзы, — он не преломляется;
• луч, параллельный главной оптической оси, — после преломления он идёт через фокус.
Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис.
Если же точка S лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один — идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать «неудобный» (рис. 41).
Посмотрим ещё раз на выражение (4. 10). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:
Теперь разделим обе части этого равенства на А:
1 + B = 1 • (4. 12)
Соотношение (4. 12) называется Формулой тонкой линзы (или просто Формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для А > F. В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.
Теперь вернёмся к соотношению (4. 11). Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что B Не зависит от расстояния SA (рис. 39, 4. 40) между источником S и главной оптической осью!
Это означает, что, какую бы точку M отрезка SA мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии B от линзы. Оно будет лежать на отрезке S’A’ — а именно, на пересечении отрезка S1A’ с лучом MO, который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки A будет точка A’.
Тем самым мы установили важный факт: Изображением отрезка SA служит отрезок S1A1. Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем Предметом и обозначаем на рисунках стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить, — прямым или перевёрнутым получается изображение.
Собирающая линза: действительное изображение предмета
Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая A > F. Здесь можно выделить три характерные ситуации.
Пусть F < A < 2F. Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 42; двойной фокус обозначен 2F). Из формулы линзы следует, что в этом случае B > 2F (почему?).
Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах — эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым—чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.
Отношение размера изображения к размеру предмета называется Линейным увеличением линзы и обозначается Γ (это заглавная греческая «гамма»):
1 AB •
Из подобия треугольников ABO и A’ B’ O получим
Формула (4. 13) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.
Пусть A = 2 F. Из формулы (4. 11) находим, что и B = 2 F. Линейное увеличение линзы согласно формуле (4. 13) равно единице, т. размер изображения равен размеру предмета (рис. 43).
Пусть A > 2F. В этом случае из формулы линзы следует, что B < 2F (почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы — изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис. 44).
Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов — словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.
Рассмотрение первого случая A > F нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.
Собирающая линза: мнимое изображение точки
Второй случай: A < F. Точечный источник света S расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 45).
Наряду с лучом SO, идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч SX. Однако теперь на выходе из линзы получаются два
Расходящихся луча OE и XP. Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке S’.
Теорема об изображении утверждает, что точка S’ будет одной и той же для всех лучей SX, исходящих из точки S. Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:
ASAO ~ AS’A’O, ASXS’~ ∆OPS’, ASXK ~ AOPF.
Снова обозначая через B расстояние от S’ до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):
A = AO = SO = S’O – S’S = 1 _ S’S = , SX = , SK = , a
B A’O S’O S’O 1 SO 1 OP ɪ OF 1 F ’
B = – f^.
Величина B не зависит от луча SX, что и доказывает теорему об изображении для нашего случая A < F. Итак, S’ — мнимое изображение источника S.
Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения S’ удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 46).
Ну а если точка S лежит на главной оптической оси, то деваться некуда — придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 47).
Соотношение (4. 14) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая A < F. Сначала переписываем это соотношение в виде
1 – A = a
1 B f ’
А затем делим обе части полученного равенства на A:
Сравнивая формулы (4. 12) и (4. 16), мы видим небольшую разницу: перед слагаемым ɪ стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.
Величина B, вычисляемая по формуле (4. 15), не зависит также от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой M), это означает, что изображением отрезка SA на рис. 47 будет отрезок S’A’.
Собирающая линза: мнимое изображение предмета
Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 48). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.
Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло —лупу.
Случай A < F полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая A > F. Это не удивительно—ведь между ними лежит промежуточный «катастрофический» случай A = f.
Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости
Промежуточный случай: A = f. Источник света S расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 49).
Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости — а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника S, расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.
Где же изображение точки S? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае — изображение S’ находится На бесконечности.
Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).
Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.
Рассеивающая линза: мнимое изображение точки
К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один – единственный.
Снова берём луч SO и произвольный луч SX (рис. 50). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча OE и XY, которые наш глаз достраивает до пересечения в точке S’.
Нам снова предстоит доказать теорему об изображении—о том, что точка S’ будет одной и той же для всех лучей SX. Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:
ASAO ~ AS’A’O, ASXS’~ ∆OPS’, ASXK ~ AOPF.
A AO = SO = SS’ + S’ O SS’ 1 S^ 1 SK, 1 = A , 1
Ь A O SO S’O S’ O + 1 OP + 1 OF + 1 F + 1
Величина Ь не зависит от луча SX, поэтому продолжения всех преломлённых лучей XY пересекутся в точке S’—Мнимом изображении точки S. Теорема об изображении тем самым полностью доказана.
Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (4. 11) и (4. 15). В случае A = f их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации A > F и A < F.
А вот у формулы (4. 18) знаменатель не обращается в нуль ни при каком А. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника — случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.
Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой — параллельно главной оптической оси (рис. 51).
Если же точка S лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 52).
Соотношение (4. 18) даёт нам ещё один вариант формулы линзы перепишем
1 – B = – F ’
А потом разделим обе части полученного равенства на А:
A b = f ’
Так выглядит формула линзы для рассеивающей линзы.
Три формулы линзы (4. 12), (4. 16) и (4. 19) можно записать единообразно: если соблюдать следующую договорённость о знаках:
• для мнимого изображения величина B считается отрицательной;
• для рассеивающей линзы величина F считается отрицательной.
Это очень удобно и охватывает все рассмотренные случаи.
Рассеивающая линза: мнимое изображение предмета
Величина B, вычисляемая по формуле (4. 18), опять-таки не зависит от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Это снова даёт нам возможность построить изображение предмета AB, которое на сей раз получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 53).
Принципы классификации
Понятие применяется к другим оптическим приборам и явлениям, которые изучаются на уроках физики в 11 классе. Подобное действие наблюдается в плоских линзах. При их изготовлении применяется материал с переменным показателем преломления. Он изменяется с учётом расстояния от центра. В зонной пластинке Френкеля используется явление дифракции (отклонение пучка света от прямолинейного распространения вблизи препятствия).
Воспринимаемая картинка считается действительной. Предусмотрено подобное построение изображения в собирающей линзе. Мнимые аналоги образуются расходящимися пучками. Их лучи не пересекаются в геометрической системе координат. Действительное и мнимое изображение может давать собирающее зеркало. Рассеивающий аналог создаёт мнимую картинку.
Главные и общие характеристики изделий:
- оптическая сила;
- фокусное расстояние.
Некоторые оптические системы фокального, фокусного, выпуклого видов используются в среде с относительно высоким показателем преломления.
Отличительное свойство собирательной лампочки — соединение падающих прямых в одной точке. Её можно править к изделию любой стороной.
Вывод — свет, проходя через экран с зеркалами, собирается с двух сторон от прибора.
Для изделия характерны 2 фокуса:
- задний;
- передний.
Они находятся на оптической оси с двух сторон и на фокусном расстоянии от главной точки. В ходе падения лучей на рассеивающую линзу и выхода из неё свет преломляется рассеиваясь. В технике используются лупы, обозначающие 2x, 3x. Чтобы увеличить картинку, используется формула:
Ud=F+d/F, где F — расстояние, d — расстояние наилучшего зрения.
Собирающие приборы
При построении изображения в собирающей линзе и расположении предмета за двойным фокусом необходимо опустить 2 луча. На стекле происходит преломление луча с последующим его прохождением через фокус. Другой луч направляется из верхней точки предмета через центр. Он проходит без кривизны, не преломляясь. При пересечении прямых образуется верхняя точка предмета.
По аналогичной схеме строится картинка нижней точки изделия. При таком построении получается перевёрнутое, уменьшенное и действительное фото.
Чтобы построить картинку, когда предмет находится в точке двойного фокуса, понадобятся 2 луча:
- Первый преломляется, пропускаясь через фокус.
- Второй направляется из верхней части через оптику. Он не преломляется.
На их пересечении ставится точка, с помощью которой получится картинка верхней части предмета. По аналогичной схеме строится чертёж нижних точек. Таким способом получается картинка с высотой, равной высоте самого изделия.
При расположении предмета в пространстве один луч проходит параллельно основной оси, а второй направляется через центр. В основе проекционного аппарата находится основное свойство собирающих линз: в процессе приближения изделия к линзе изменяются параметры фото.
Сложнее выполнить чертёж, используя светящуюся точку, расположенную на основной оптической оси. Для построения точки используется луч, направленный произвольно на линзу. В месте пересечения плоскости и побочной оси формируется другой фокус. В данную точку пойдёт преломлённая прямая после самой линзы. При построении изображения в рассеивающей линзе происходит преломление так, что продолжение прямой идёт в фокус. Вторая прямая попадает в центр, пересекая продолжение первой. На основе такого закона преломления получается картинка мнимая, прямая и уменьшенная.
Практические задания
Для рассматриваемых устройств существуют следующие типы задач: на построение в рассеивающей линзе либо собирающей, формула для тонкой поверхности.
Для решения первой потребуется построить ход луча от источника, отыскать пересечение преломленных прямых.
Если дана собирающая линза, луч имеет следующие цвета:
- Синий. Идёт вдоль основной оси, а после преломления поступает в фокус.
- Зелёный. Проходит сквозь оптический центр, без преломления.
- Красный. Проходя через фокус, преломляясь, распространяется параллельно основной оси.
При их пересечении получается соответствующее изображение. В рассеивающих линзах используются лучи синего, зелёного оттенков. Первый параллелен главной прямой, преломляется. Зелёный идёт сквозь оптическую центральную точку, не испытывая преломления. Лучам свойственно пересекаться, выдавая картинку.
Как и сферическое зеркало, можно получить несколько картинок от предмета, находящегося на разных расстояниях (d). Предположим, что длина отрезка от фото до линзы обозначается через f, а от фокуса до линзы через F.
При собирающей линзе значение первого показателя d будет стремиться к бесконечности. Источник расположен вдали от зеркала. Лучи расположены параллельно относительно друг друга.
Если пустить 2 прямые параллельно основной оси, тогда, преломляясь, они пройдут через фокус. Он является точечным изображением.
Различные значения показателей
Если d больше 2°F, источник расположен за фокусным отрезком. Чтобы визуализировать картинку, предмет описывается через стрелку. В точке скрещения лучей появляется изображение. Когда d= 2°F, источник размещён в фокусе. Если d больше F, но меньше 2°F, тогда источник находится между двойным и одинарным фокусом. При отсутствии побочных предметов, размещении зеркала с учётом расстояния d=F, когда источник совпадает с фокусом.
Если линза рассеивающая, при построении не учитывается положение предмета. В таком случае нужно ограничиваться его произвольным размещением и характеристиками фото. Если d приближается к бесконечности, тогда лучи идут от источника параллельно относительно друг друга.
После преломления они расходятся, а в фокусе их продолжения сходятся. Точки пересечения и фокуса совпадают. Таким способом получается мнимая картинка.
Другой тип заданий связан с формулой тоненькой линзы. Они основаны на числовых параметрах, с помощью которых характеризуется положение источника, фокуса либо картинки.
Если рассмотреть произвольную систему, тогда за положение источника можно взять d, а за фото — f. Фокусная система задается через F.
Взаимосвязь между всеми параметрами, которые используются при построении изображений в тонких линзах, описывается с помощью следующей формулы:
- F — расстояние фокусное;
- d — расстояние между зеркалом и предметом;
- f — отрезок между зеркалом и картинкой.
Чтобы воспользоваться формулой, нужно учитывать правило постановки знаков. Если прибор собирающий, тогда F больше нуля, а если рассеивающий, то меньше. Когда предметы и картинки действительные, тогда d>0, f=0.
При мнимых фото и предметах показания иные: d<0, f<0. Через последний параметр характеризуются линзы либо целые системы.
Для нахождения оптической силы используется формулы:
- D — оптическая сила либо система линз;
- F — фокус системы либо отдельного стекла.
Для размерности оптической силы применяются диоптрии (дптр). Для собирающих линз характерно положительное значение D, а для рассеивающих — отрицательное. В физике задачи с линзами разделены на 2 класса.
Чтобы построить чертежи, необходимо проанализировать ход света, измерить радиус, найти картинку. На основе численных значений подбирается подходящая формула для вычисления неизвестной.
Для введённых нами линз существует два условно разных типа задач:
- задачи на построение в собирающей и рассеивающей линзах
- задачи на формулу для тонкой линзы
Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения преломлённых в линзах лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от линз. Для собирающей и рассеивающей линзу существуют рассмотренные (не нами) траектории распространения луча (рис. 1) от источника.
Для собирающей линзы (рис. 1) лучи:
- синий. Луч, идущий вдоль главной оптической оси, после преломления проходит через передний фокус.
- зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
- красный. Луч, идущий через передний фокус, после преломления распространяется параллельно главной оптической оси.
Пересечение любых из этих двух лучей (чаще всего выбирают лучи 1 и 2) дают изображение ().
Для рассеивающей линзы (рис. 2) лучи:
- синий. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, преломляется так, что продолжения луча проходит через задний фокус.
- зелёный. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не испытывает преломления (не отклоняется от первоначального направления).
Пересечение продолжений рассмотренных лучей даёт изображение ().
Аналогично сферическому зеркалу, получим набор изображений от предмета, расположенного на различных расстояниях от зеркала. Введём те же обозначения: пусть — расстояние от предмета до линзы, — расстояние от изображения до линзы, — фокусное расстояние (расстояние от фокуса до линзы).
Для собирающей линзы:
все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения преломлённых лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Точка пересечения преломившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). В этом случае, оба преломлённых луча оказались параллельными друг другу, т. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Однако преломлённые лучи расходятся, т. сами преломлённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения этих лучей. Точка пересечения продолжений преломлённых лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — по ту же сторону, что и предмет.
Для рассеивающей линзы построение изображений предметов практически не зависит от положения предмета, так что ограничимся произвольным положением самого предмета и характеристикой изображения.
все лучи, идущие параллельно главной оптической оси линзы, после преломления в линзе должны проходить через фокус (свойство фокуса), однако после преломления в рассеивающей линзе лучи должны расходится. Тогда в фокусе сходятся продолжения преломившихся лучей. Тогда точка фокуса и является точкой пересечения продолжений преломлённых лучей, т. она же и есть изображение источника (точечное, мнимое).
Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (продолжение отражённого луча проходит через передний фокус) и идущего через главный оптический центр линзы (не преломляется). Тогда изображением будет пересечение продолжений преломлённых лучей.
Второй тип задач связан с формулой тонкой линзы. Такие задачи основываются на числовых данных параметров, характеризующих положение источника, изображения или фокуса линзы. Рассмотрим произвольную систему (рис. 10). Пусть положение источника (), изображения () и фокуса системы () задано.
Тогда взаимосвязь между параметрами положения элементов можно описать формулой:
Важно: для использования формулы (1) необходимо помнить правило расстановки знаков. Если линза собирающая, то , если рассеивающая, то. В случае действительных предметов и изображений: , , а в случае мнимых предметов и изображений: и.
И последним параметром, характеризующим линзы или систему линз, является оптическая сила линзы (). Её нахождение довольно простое:
Размерность оптической силы линзы: м=дптр (диоптрии). Оптическая сила собирающей линзы положительна, рассеивающей — отрицательна.
Вывод: задачи с линзами, в целом, разделены на два класса. Задачи на построение основываются на рисунках 2-9. Достаточно проанализировать ход лучей и найти изображение (рис. Численные значения в дано указывают на задачи на формулу тонкой линзы (1).
Построение изображения в линзах
Геометрические построения помогают определить положение изображения, а также его характер. Для этой цели применяют свойства стандартных лучей, направление которых определено. Это лучи, которые проходят через оптический центр либо один из фокусов линзы, и лучи, параллельно расположенные главной либо одной из побочных оптических осей. Рисунки 3. 3 и 3. 4 демонстрируют данные построения.
Рисунок 3. Построение изображения в собирающей линзе.
Рисунок 3. Построение изображения в рассеивающей линзе.
Стоит выделить то, что стандартные лучи, использованные на рисунках 3. 3 и 3. 4 для построения изображений, не проходят через линзу. Данные лучи не используются в построении изображения, но могут быть использованы в этом процессе.
Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала. Можно вывести ее для параксиальных лучей из подобия треугольников на рисунках 3. 3 либо 3.
Фокусное расстояние линз записывается с определенными знаками: собирающая линза F>0, рассеивающая F<0.
Величина d и f тоже подчиняются определенным знакам:
Для случая на рисунке 3. 3 F>0 (линза собирающая), d=3F>0 (действительный предмет).
Из формулы тонкой линзы получаем: f=32F>0, означает, что изображение действительное.
Линейные размеры изображения зависят от положения предмета по отношению к линзе.
Величину h’ удобно записывать со знаками плюс или минус, в зависимости от того, прямое оно или перевернутое. Она всегда положительна. Потому для прямых изображений применяется условие Γ>0, для перевернутых Γ<0. Из подобия треугольников на рисунках 3. 3 и 3. 4 нетрудно вывести формулу для расчета линейного увеличения тонкой линзы:
В примере с собирающей линзой на рисунке 3. 3 при d=3F>0, f=32F>0.
Значит, Г=-12<0 – изображение перевернутое и уменьшенное в два раза.
Оптическая сила D линзы находится в зависимости от радиусов кривизны R1 и R2, ее сферических поверхностей, а также и от показателя преломления n материала линзы. В теории оптики имеет место следующее выражение:
Выпуклая поверхность имеет положительный радиус кривизны, а вогнутая поверхность – отрицательным. Данная формула применима в изготовлении линз с заданной оптической силой.
Многие оптические приборы устроены таким образом, что свет последовательно проходит через 2 или несколько линз. Изображение предмета от 1-й линзы служит предметом (действительным или мнимым) для 2-й линзы, выстраивающей, в свою очередь, 2-е изображение предмета, которое также может быть действительным либо мнимым. Расчет оптической системы из 2-х тонких линз состоит в
2-кратном применении формулы линзы, причем расстояние d2 от 1-го изображения до 2-й линзы следует предложить равное величине l–f1, где l – это расстояние между линзами.
Вычисленная, по формуле линзы, величина f2 предопределяет положение 2-го изображения, а также его характер (f2>0 – действительное изображение, f2<0 – мнимое). Общее линейное увеличение Γ системы из 2-х линз равняется произведению линейных увеличений 2-х линз, то есть Γ=Γ1·Γ2. Если предмет либо его изображение находятся в бесконечности, тогда линейное увеличение не имеет смысла.
Астрономическая труба Кеплера и земная труба Галилея
Рассмотрим частный случай – телескопический ход лучей в системе из 2-х линз, когда и предмет, и 2-е изображение расположены на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Телескопический ход лучей выполняется в зрительных трубах: земной трубе Галилея и астрономической трубе Кеплера.
Тонкая линза имеет некоторые недостатки, которые не позволяют получать изображения высокого разрешения.
Современные оптические приборы оснащены не тонкими линзами, а сложными линзовыми системами, в которых есть возможность исключить некоторые искажения.
В таких приборах, как фотоаппараты, проекторы и т. , используются собирающие линзы для формирования действительных изображений предметов.
Что представляет собой фотоаппарат
Особенность работы фотоаппарата в том, что на плоской фотопленке получаются довольно резкие изображения предметов, которые находятся на различных расстояниях. Резкость меняется вследствие перемещения объектива относительно фотопленки. Изображения точек, которые не лежат в плоскости резкого наведения, выходят на снимках размытыми в виде рассеянных кружков. Размер d данных кружков можно уменьшить методом диафрагмирования объектива, то есть уменьшения относительного отверстия aF, как показано на рисунке 3. Это в результате увеличивает глубину резкости.
Рисунок 3. Фотоаппарат.
С помощью проекционного аппарата удается снять масштабные изображения. Объектив O проектора фокусирует изображение плоского предмета (диапозитив D) на удаленном экране Э (рисунок 3. Система линз K (конденсор) используется для концентрации света источника S на диапозитиве. На экране воссоздается увеличенное перевернутое изображение. Масштаб проекционного устройства можно изменять, приближая или отдаляя экран и одновременно изменяя расстояние между диапозитивом D и объективом O.
Рисунок 3. Проекционный аппарат.
Рисунок 3. Модель тонкой линзы.
Рисунок 3. Модель системы из двух линз.
Изображение предмета и фокус линзы
Рассмотрим простой опыт, схожий с тем, что был в прошлом уроке. У нас так же имеется большая собирающая линза, но вместо маленькой лампочки — свеча (рисунок 1). Свечу мы уже можем рассматривать как протяженный предмет. Поместим ее между линзой и ее фокусом $F$.
Теперь посмотрим на свечу через линзу. Мы увидим ее изображение с той же стороны, где она действительно находится.
Но нам будет казаться, что свеча находится немного дальше своего истинного положения. Кроме того, изображение будет увеличенным.
Изображение не будет наклоненным или перевернутым. Такое изображение называется прямым.
Если мы начнем перемещать свечу относительно ее фокуса (ближе и дальше от линзы), то увидим, что ее изображение будет существенно изменяться. Например, если мы переместим свечу за фокус линзы, то изображение пропадет. Но при этом оно появится с другой стороны линзы, далеко от нее. Чтобы его увидеть, нужно расположить экран с той стороны, где на рисунке 1 находится Образавр.
Это изображение будет не только увеличенным, но и перевернутым по отношению к свече.
Значит, передвигая свечу на различные расстояния от линзы и ее фокуса, мы можем получить различные изображения.
Построение изображения предмета, находящегося за двойным фокусом линзы
Теперь мы можем рассмотреть, как строятся изображения протяженных предметов, находящихся на разных расстояниях от собирающей линзы.
Разберем рисунок 2. Мы провели оптическую ось и отметили на рисунке собирающую линзу. По обе стороны от нее отметили две равноудаленные точки — фокусы линзы $F$. Так же мы отметили двойные фокусные расстояния — $2F$.
Предмет на чертежах мы будем изображать с помощью стрелки. Ее концы отмечаем точками $A$ и $B$. Такое обозначение поможет нам легко оценивать полученное изображение: будет оно прямым или перевернутым.
Начнем с того, что поместим наш предмет за двойной фокус линзы.
Чтобы получить изображение предмета, даваемое линзой, нам необходимо получить изображения двух точек $A$ и $B$ и соединить их между собой.
Получим изображение точки $A$. Для этого начертим ход двух световых лучей, выходящих из этой точки:
- Луч $AC$ параллелен оптической оси. После преломления в линзе он проходит через ее фокус $F$
- Луч $AO$ проходит через оптический центр $O$. После прохождения свозь линзу направление его распространения не изменяется
Эти два луча пересекутся в точке $A_1$. Эта точка является изображением точки $A$.
Точка $B$ лежит на оптической оси линзы. Мы можем построить ее изображение способом из прошлого урока, использую фокальную плоскость, побочную ось и побочный фокус. Но при построении изображения предмета, который располагается перпендикулярно оптической оси, мы можем сделать это проще. Для этого нам просто необходимо опустить перпендикуляр из полученной точки $A_1$ на оптическую ось. Так мы получаем изображение точки $B$ — $B_1$.
Если предмет будет располагаться под каким-то углом к оптической оси или обе его точки будут находиться не на оптической оси, необходимо выполнять построение изображения каждой точки предмета способами, описанными в прошлом уроке.
Теперь нам осталось соединить точки $A_1$ и $B_1$ между собой. Не перепутайте направление стрелки: если у предмета ее острие было в точке $A$, то у изображения предмета острие стрелки должно быть в точке $A_1$.
Характеристики изображения предмета
Итак, мы получили изображение предмета $A_1B_1$. Для того чтобы описать его, введем новые обозначения. Обозначим расстояние от предмета до линзы как $d$, а от линзы до изображения предмета как $f$.
Если $d > 2F$, то изображение предмета, даваемое собирающей линзой:1. Действительное2. Уменьшенное3. Перевернутое4. $F < f < 2F$
Изображение действительное, потому оно образовано на пересечении преломленных линзой лучей.
Уменьшенное — мы можем судить об этом, посмотрев на полученный чертеж.
Перевернутое — если вернуться к опыту со свечей и поместить ее за двойной фокус линзы, то мы увидим изображение свечи огоньком вниз.
Последняя строчка нашей характеристики полученного изображения ($F < f < 2F$) говорит нам о том, что изображение предмета находится ближе к линзе, чем в действительности. Чтобы увидеть это изображение, нужно расположить экран (как экран проектора) именно на этом расстоянии.
Получим ли мы на практике точно такое же изображение? Возьмем большую собирающую линзу и свечу. Расположим свечу с помощью подставки таким образом, чтобы ее крайняя нижняя точка находилась на оптической оси (рисунок 3). Поместим ее за двойным фокусом линзы.
Передвигая экран ближе и дальше от линзы, найдем такое его положение, когда на нем появится изображение свечи. Мы увидим, что оно совпадаем с тем, которое мы получили на чертеже: уменьшенное, перевернутое и находится между фокусом и двойным фокусом линзы.
Настраивая фотоаппарат вручную, можно получить такое изображение.
Изображение предмета, находящегося между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы
Будем постепенно приближать предмет к линзе. Теперь разместим его между фокусом и двойным фокусом линзы: $F < d < 2F$ (рисунок 4).
Построение изображения выполняется точно таким же образом, как и в прошлом случае. Отмечаем на чертеже ход двух лучей, выходящих из точки $A$. На их пересечении получаем точку $A_1$. Опускаем перпендикуляр на оптическую ось и отмечаем точку $B_1$. Соединяем две полученные точки между собой и получаем изображение предмета — $A_1B_1$. Охарактеризуем его.
Если $F < d < 2F$, то изображение предмета, даваемое собирающей линзой:1. Действительное2. Увеличенное3. Перевернутое4. $f > 2F$
Получается, что по мере приближения предмета к линзе (но не доходя до фокуса линзы), перевернутое изображение предмета будет удаляться от линзы, а его размеры будут увеличиваться.
Изображение предмета, находящегося перед фокусом собирающей линзы
Пододвинем предмет еще ближе к линзе. Теперь он находится между линзой и ее фокусом: $d < F$ (рисунок 5).
Луч $AC$ преломляется после прохождения сквозь линзу и проходит через фокус. Мы получили преломленный луч $CC_1$.
Луч $AO$ проходит через оптический центр и не меняет своего направления. Из линзы выходит преломленный луч $OD$, совпадающий по направлению с падающим лучом.
Мы видим, что преломленные лучи $CC_1$ и $OD$ не пересекутся. Но если мы их продолжим в левую сторону чертежа, то получим точку пересечения — изображение точки $A$. Мы можем сразу сказать, что такое изображение будет мнимым, потому что пересекаются не сами преломленные лучи, а их продолжения.
Опустив перпендикуляр на оптическую ось, мы получим точку $B_1$. Соединим друг с другом точки $A_1$ и $B_1$, и изображение предмета $A_1B_1$ готово. Охарактеризуем его.
Если $d < F$, то изображение предмета, даваемое собирающей линзой:1. Мнимое2. Увеличенное3. Прямое4. $F < f < 2F$ (со стороны предмета)
Изображение предмета, даваемого рассеивающей линзой
Рассмотрим построение изображений, которые можно получить с помощью рассеивающей линзы (рисунок 6).
Такая линза никогда не даст действительного изображения, оно всегда будет мнимым. Ведь лучи, проходящие через рассеивающую линзу, расходятся. Это значит, что они никогда не пересекутся в противоположной от расположения предмета стороне. Будут пересекаться продолжения световых лучей на той же стороне от линзы, где находится предмет.
Рассмотрим чертеж. Из точки $A$ выходят два луча $AC$ и $AO$. Луч $AC$ достигает линзы и преломляется. Луч $AO$ после прохождения сквозь линзу не изменяет своего направления.
Из чертежа сразу ясно, что преломленные лучи не пересекутся. Значит, должны пересечься их продолжения. Продолжение первого преломленного луча пройдет через мнимый фокус по определению рассеивающей линзы. Продолжение луча второго преломленного луча совпадает с лучом $AO$.
Эти продолжения пересекаются в точке $A_1$ — мнимом изображении точки $A$. Опустим перпендикуляр на оптическую ось и получим точку $B_1$. Соединим точки и получим изображение предмета $A_1B_1$.
Изображение, даваемое рассеивающей линзой:1. Мнимое2. Уменьшенное3. Прямое
Подтвердим вышесказанное опытом. Возьмем большую рассеивающую линзу и свечу. Свечу установим на подставке так, чтобы ее крайняя нижняя точка находилась на оптической оси линзы (рисунок 7).
Смотря через линзу мы не увидим реальную свечу. Мы увидим ее мнимое, прямое и уменьшенное изображение $A_1B_1$. Все совпало с нашим чертежом.
Если мы начнем передвигать свечу относительно линзы, то увидим, что характеристики ее изображения будут сохраняться. Вне зависимости от положения свечи, ее изображение всегда будет мнимым, прямым и уменьшенным.
Пример построения изображения
Показать готовой чертеж и пояснения
