Линза — это прозрачный оптический компонент, используемый для фокусировки или дефокусировки излучения, излучаемого периферийным объектом. Световые лучи, прошедшие линзу, формируют действительное или мнимое изображение.
Изображения, формируемые линзами, возникают из-за преломления света. Выпуклая линза еще называется собирающей или положительной. Она фокусирует лучи, исходящие от точечного объекта, в определенной точке; следовательно, сформированное изображение считается действительным.
Двояковыпуклая линза – это линза с двумя выпуклыми поверхностями, оптические центры которых совпадают.
Рисунок 1 – Схема ДВЛ
Когда излучение попадает на края линзы, оптические лучи становятся параллельны друг другу.
По кривизне двух оптических плоскостей линзы бывают двух типов: двояковыпуклые, выпукло-вогнутые
и с одной плоской стороной. Элемент является двояковыпуклым, если обе плоскости выпуклые.
Двояковыпуклые линзы (ДВЛ) применяются как увеличительные или конденсирующие компоненты. Они также находят применение во многих системах формирования изображений, таких как телескопы, монокуляры, микроскопы, бинокли, камеры, проекторы и т.
ДВЛ представляют собой простые симметричные элементы, которые содержат две выпуклые линзы со сферической формой, каждая из которых имеет одинаковый радиус кривизны (см. рис 1).
Для расчета фокусного расстояния сферической линзы можно применить уравнение для толстой линзы, приведенное ниже. В этом выражении n — показатель преломления материала, R1 и R2 — радиусы кривизны, а d — толщина.
Для двояковыпуклых линз, у которых передний и задний радиусы кривизны равны по величине и противоположны по знаку, R1 = -R2 = R, имеем
Типовые материалы и параметры линз
BK7, вероятно, представляет собой наиболее распространенное оптическое стекло, из которого производят высококачественные оптические компоненты видимого и ближнего инфракрасного диапазона. Его обычно выбирают всякий раз, когда дополнительные преимущества УФ плавленого кварца (то есть хорошее пропускание в УФ и более низкий коэффициент теплового расширения) не являются необходимыми. Его высокая однородность, низкое содержание пузырьков и включений, а также простота изготовления делают его хорошим выбором для пропускающей оптики. BK7 также относительно твердый материал, он показывает хорошую устойчивость к царапинам.
CaF2 обычно используется для приложений, требующих высокого пропускания в инфракрасном и ультрафиолетовом спектральных диапазонах. Его чрезвычайно высокий порог лазерного повреждения делает CaF2 полезным для использования с эксимерными лазерами. Материал демонстрирует низкий показатель преломления, варьирующийся от 1,35 до 1,51 в диапазоне его использования от 180 нм до 8,0 мкм. Фторид кальция также довольно химически инертен и обладает превосходной твердостью.
Линзы из ZnSe особенно хорошо подходят для использования с мощными CO2-лазерами.
350 нм — 2. 0 мкм
УФ Плавленый кварц
185 нм — 2. 1 мкм
0. 18 — 8. 0 мкм
0. 6 — 21. 0 мкм, обычно используется AR покрытие 7 мкм — 12 мкм
Так как данные оптические элементы применяются в высокоточных оптических установках, необходимо тщательно подбирать изделие под конкретную задачу, ориентируясь на допуски.
- Допуск диаметра: критический механический допуск, который необходимо учитывать при установке оптики. Отклонения от номинального диаметра могут помешать правильной посадке линз в их монтажном приспособлении, что приведет к децентрализации или наклону внутри оптического узла.
- Центрирование: точное выравнивание оптической оси гарантирует, что линзы могут использоваться в сложных приложениях для обработки изображений. В сочетании с упомянутыми выше прецизионными допусками на диаметр, строгие допуски на центровку обеспечивают минимальное биение изображения в оптической сборке.
- Качество поверхности: даже незначительные царапины или ямки на оптической плоскости элемента могут привести к рассеянию лучей, что может быть вредным для лазерных приложений. Данный параметр также влияет на порог лазерного повреждения. Объективы с плохим допуском на данный параметр могут выйти из строя при воздействии излучения даже средней мощности. Царапины и углубления на линзе также могут привести к тому, что лазерный свет будет рассеиваться взад и вперед, разрушая покрытие.
Пример важности допусков
В расширителях луча ошибки центрирования могут привести к дрейфу луча, в результате чего выходной луч не параллелен входному лучу. Дрейф луча усложняет юстировку лазерных систем, поскольку требует наклона механического корпуса для компенсации несоосности входной и выходной осей.
Рисунок 2 — Влияние ошибок центрирования на расширитель луча
Типичные характеристики линз приведены в таблице ниже.
Допуск на толщину
Допуск на диаметр
+0. 0 / -0. 1 мм
<3 угловых минут
>90% от диаметра линзы
Допуск на фокусное расстояние
Многие линзы имеют антиотражающие покрытия на своих плоскостях, которые существенно уменьшают отражения, вызванные изменением показателя преломления. Обратите внимание, однако, что это работает только в ограниченном диапазоне длин волн. Существует компромисс между сильным подавлением отражений и широкой полосой пропускания.
ДВЛ работают лучше всего, когда объект и изображение находятся на противоположных сторонах линзы, а отношение объекта к расстоянию до изображения (сопряженное соотношение) составляет от 0,2 до 5.
ДВЛ исправляют следующие проблемы, возникающие в оптических системах:
Благодаря своим особенностям, ДВЛ применяются для фокусировки лучей в объективах и конденсорах. Они обеспечивают меньший фокус по сравнению с аналогичными плоско-выпуклыми линзами. ДВЛ также применяются как расширители пучка и в комбинациях с другими оптическими элементами в проекционных системах.
Ниже приведены самые распространенные сферы использования ДВЛ:
У человека могут быть такие проблемы, как дальнозоркость или близорукость, поскольку хрусталик глаза не может правильно фокусировать лучи на сетчатке. У человека, страдающего дальнозоркостью, изображение, формируемое хрусталиком, находится далеко за сетчаткой. ДВЛ, установленная перед глазом, может скорректировать эту проблему. Она уменьшает длину фокусировки, и излучение должным образом фокусируется на сетчатке.
В фотоаппаратах ДВЛ используется для фокусировки на изображении, а также для увеличения изображения объекта. Кроме того, объектив камеры состоит из комбинации выпуклой и вогнутой линз, за которыми следует вторая выпуклая линза.
В микроскопе ДВЛ увеличивают изображения. Микроскопы создают увеличенные изображения очень маленьких объектов, для этого очень полезны выпуклые линзы. Более того, простые микроскопы в большинстве своем состоят из трех линз.
Оптическая сила линзы
D
—
это величина обратная фокусному расстоянию.
За единицу оптической силы принята –
диоптрия (1 дптр ).
1 диоптрия – это оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние
которой равно 1 метр.
Фокусное расстояние собирающей линзы по линейному увеличению
Линейное увеличение —
Г — отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета.
Из подобии треугольников АОВ и А1ОВ1 ( см. рисунок),
следует, что
Учитывая формулу (1) и (3) получим выражения для определения
фокусного расстояния собирающей линзы по линейному увеличению.
Фокусное расстояние собирающей линзы по радиусам
кривизны сферических поверхностей
Примеры решения задач
Определение
фокусного расстояния по формуле тонкой линзы.
Задача 1. Светящийся предмет находится на расстоянии d = 0,4м от линзы, а его
действительное изображение — на расстоянии f=0,66 м от нее. Чему равен фокус
линзы?
Задача 2. На расстоянии d=0,4 м от собирающей линзы находится предмет, его действительное
изображение в L=1,7 раза больше самого предмета. Чему равен фокус линзы?
Задача
3. Найдите фокусное расстояние собирающей линзы с радиусами кривизны
R1=R2=0,3м,
изготовленной из стекла с показателем преломления
n=1,6.
Задача 4. Действительное изображение предмета, получаемое с помощью линзы в 4 раза больше
самого предмета. Чему равна оптическая сила линзы, если предмет находится на
расстоянии 3 см от линзы
Главное фокусное
расстояние рассеивающей линзы 12 см. Изображение предмета находится на
расстоянии 9 см от линзы. Чему равно расстояние от предмета до линзы?
Предмет расположен
на расстоянии 1,6F от линзы. Его приблизили к линзе на
0,8F. На сколько при этом переместилось изображение предмета, если оптическая сила
линзы 2,5 Дптр?
Мнимое изображение
предмета, получаемое с помощью линзы в 4,5 раза больше самого предмета. Чему
равна оптическая сила линзы, если предмет находится на расстоянии 3,8 см от
линзы?
Предмет высотой 6
см расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 30
см от ее оптического центра. Оптическая сила линзы 5 Дптр. Найдите высоту
изображения предмета. Ответ выразите в сантиметрах (см)
Какую линзу
называют тонкой
Что называется
главным фокусом линзы?
Какие лучи удобно
использовать для построения изображения в линзе?
Что называется
увеличением линзы?
Перечислите виды
линз
Запишите формулы,
определяющие фокус линзы
Предмет находиться
на расстоянии 4F. Во сколько раз его изображение на экране меньше изображения
предмета?
Расстояние от
предмета до экрана 90см. Где надо поместить между ними линзу с фокусным
расстоянием 20см, чтобы получить четкое изображение?
Пучок параллельных
световых лучей падает перпендикулярно на тонкую собирающую линзу оптической
силой 5 дптр. Диаметр линзы 6 см. Диаметр светлого пятна на экране 12 см. На
каком расстоянии (в см) от линзы помещен экран
Линзы. Ход лучей.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: линзы
Преломление света широко используется в различных оптических приборах: фотоаппаратах, биноклях, телескопах, микроскопах. Непременной и самой существенной деталью таких приборов является линза.
Линза — это оптически прозрачное однородное тело, ограниченное с двух сторон двумя сферическими (или одной сферической и одной плоской) поверхностями.
Линзы обычно изготавливаются из стекла или специальных прозрачных пластмасс. Говоря о материале линзы, мы будем называть его стеклом — особой роли это не играет.
Двояковыпуклая линза.
Рассмотрим сначала линзу, ограниченную с обеих сторон двумя выпуклыми сферическими поверхностями (рис. Такая линза называется двояковыпуклой. Наша задача сейчас — понять ход лучей в этой линзе.
Рис. Преломление в двояковыпуклой линзе
Проще всего обстоит дело с лучом, идущим вдоль главной оптической оси — оси симметрии линзы. На рис. 1 этот луч выходит из точки. Главная оптическая ось перпендикулярна обеим сферическим поверхностям, поэтому данный луч идёт сквозь линзу, не преломляясь.
Теперь возьмём луч , идущий параллельно главной оптической оси. В точке падения
луча на линзу проведена нормаль к поверхности линзы; поскольку луч переходит из воздуха в оптически более плотное стекло, угол преломления меньше угла падения. Следовательно, преломлённый луч приближается к главной оптической оси.
В точке выхода луча из линзы также проведена нормаль. Луч переходит в оптически менее плотный воздух, поэтому угол преломления больше угла падения ; луч
преломляется опять-таки в сторону главной оптической оси и пересекает её в точке.
Таким образом, всякий луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе приближается к главной оптической оси и пересекает её. На рис. 2 изображена картина преломления достаточно широкого светового пучка, параллельного главной оптической оси.
Рис. Сферическая аберрация в двояковыпуклой линзе
Как видим, широкий пучок света не фокусируется линзой: чем дальше от главной оптической оси расположен падающий луч, тем ближе к линзе он пересекает главную оптическую ось после преломления. Это явление называется сферической аберрацией и относится к недостаткам линз — ведь хотелось бы всё же, чтобы линза сводила параллельный пучок лучей в одну точку.
Точная фокусировка широкого пучка действительно возможна, но для этого поверхность линзы должна иметь не сферическую, а более сложную форму. Шлифовать такие линзы — дело трудоёмкое и нецелесообразное. Проще уж изготавливать сферические линзы и бороться с появляющейся сферической аберрацией. Кстати, аберрация называется сферической как раз потому, что возникает в результате замены оптимально фокусирующей сложной несферической линзы на простую сферическую.
Весьма приемлемой фокусировки можно добиться, если использовать узкий световой пучок, идущий вблизи главной оптической оси. Тогда сферическая аберрация почти незаметна — посмотрите на рис.
Рис. Фокусировка узкого пучка собирающей линзой
Хорошо видно, что узкий пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается приблизительно в одной точке. По этой причине наша линза носит название собирающей.
Точка называется фокусом линзы. Вообще, линза имеет два фокуса, находящиеся на главной оптической оси справа и слева от линзы. Расстояния от фокусов до линзы не обязательно равны друг другу, но мы всегда будем иметь дело с ситуациями, когда фокусы расположены симметрично относительно линзы.
Двояковогнутая линза.
Теперь мы рассмотрим совсем другую линзу, ограниченную двумя вогнутыми сферическими поверхностями (рис. Такая линза называется двояковогнутой. Так же, как и выше, мы проследим ход двух лучей, руководствуясь законом преломления.
Рис. Преломление в двояковогнутой линзе
Луч, выходящий из точки и идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется — ведь главная оптическая ось, будучи осью симметрии линзы, перпендикулярна обеим сферическим поверхностям.
Луч , параллельный главной оптической оси, после первого преломления начинает удаляться от неё (так как при переходе из воздуха в стекло ), а после второго преломления удаляется от главной оптической оси ещё сильнее (так как при переходе из стекла в воздух ).
Двояковогнутая линза преобразует параллельный пучок света в расходящийся пучок (рис. 5) и называется поэтому рассеивающей.
Здесь также наблюдается сферическая аберрация: продолжения расходящихся лучей не пересекаются в одной точке. Мы видим, что чем дальше от главной оптической оси расположен падающий луч, тем ближе к линзе пересекает главную оптическую ось продолжение преломлённого луча.
Как и в случае двояковыпуклой линзы, сферическая аберрация будет практически незаметна для узкого приосевого пучка (рис. Продолжения лучей, расходящихся от линзы, пересекаются приблизительно в одной точке — в фокусе линзы.
Если такой расходящийся пучок попадёт в наш глаз, то мы увидим за линзой светящуюся точку! Почему? Вспомните, как возникает изображение в плоском зеркале: наш мозг обладает способностью продолжать расходящиеся лучи до их пересечения и создавать в месте пересечения иллюзию светящегося объекта (так называемое мнимое изображение). Вот именно такое мнимое изображение, расположенное в фокусе линзы, мы и увидим в данном случае.
Рис. Сферическая аберрация в двояковогнутой линзе
Рис. Преломление узкого пучка в рассеивающей линзе
Виды собирающих и рассеивающих линз.
Мы рассмотрели две линзы: двояковыпуклую линзу, которая является собирающей, и двояковогнутую линзу, которая является рассеивающей. Существуют и другие примеры собирающих и рассеивающих линз.
Полный набор собирающих линз представлен на рис.
Помимо известной нам двояковыпуклой линзы, здесь изображены:плосковыпуклая линза, у которой одна из поверхностей плоская, и вогнуто-выпуклая линза, сочетающая вогнутую и выпуклую граничные поверхности. Обратите внимание, что у вогнуто-выпуклой линзы выпуклая поверхность в большей степени искривлена (радиус её кривизны меньше); поэтому собирающее действие выпуклой преломляющей поверхности перевешивает рассеивающее действие вогнутой поверхности, и линза в целом оказывается собирающей.
Все возможные рассеивающие линзы изображены на рис.
Наряду с двояковогнутой линзой мы видим плосковогнутую (одна из поверхностей которой плоская) и выпукло-вогнутую линзу. Вогнутая поверхность выпукло-вогнутой линзы искривлена в большей степени, так что рассеивающее действие вогнутой границы преобладает над собирающим действием выпуклой границы, и в целом линза оказывается рассеивающей.
Рис. Собирающие линзы
Рис. Рассеивающие линзы
Попробуйте самостоятельно построить ход лучей в тех видах линз, которые мы не рассмотрели, и убедиться, что они действительно являются собирающими или рассеивающими. Это отличное упражнение, и в нём нет ничего сложного — ровно те же самые построения, которые мы проделали выше!
Назначение линзы коллиматорной в лазерной голове
Коллиматорная линза не фокусирует, с её помощью мы получаем параллельный поток излучения лазера. Грубо говоря, она снижает расходимость луча.
Поэтому важное значение имеет выбор качественной линзы, своевременное её обслуживание, контроль чистоты поверхности последней.
Кварцевые линзы
Чаще всего линзы для волоконных лазеров изготавливают из кварцевого стекла. Подобные модели отличаются длительными сроками эксплуатации, способны воспринимать существенно большие температуры, в сравнении с селенидом цинка (ZnSe), применяемым в лазерных газовых гравёрах СО2.
Коллиматорная линза
Подобные линзы монтируются на выходе оптоволоконного лазерного излучателя. Отстоят от него на расстоянии, которое равно фокусному.
Выходящее лазерное излучение аккумулируется коллиматорной линзой, внутри которой оно преобразуется в направленный параллельный пучок, минимизируя его расходимость. Линзы двояковыпуклые, выпукло-вогнутые, иной геометрии всегда используются в комплекте.
Они устанавливаются в коллиматорном блоке, представляющем законченную оптическую систему из двух или более подобных изделий, которые смонтированы в охлаждаемом корпусе на определённых расстояниях.
Фокусные линзы
Чаще всего линзы для фокусировки это небольшая лупа, одна сторона которой выпуклая, а вторая, плоская. Существуют модели, у которых вместо плоской стороны вогнутая, но их применяют значительно реже.
Наиболее востребованным материалом для производства линз лазерных излучателей является арсенид галия (химическая формула, GaAs). Второй по востребованности, (ZnSe). Оба названных материала отличаются существенной стойкостью к внешним механическим воздействиям, значительным температурным нагрузкам. Но оптика из GaAs имеет большие сроки эксплуатации.
Ассортимент фокусных линз, применяемых на различных лазерных станках по металлу, многовариантен по применяемому исходному материалу, диаметрам, типам нанесённых напылений, степени выпуклости.
Сформированный лазером поток излучения, попадающий на линзу, аккумулируется в ней и ужимается в луч. Его сечение равно диаметру, проецируемого на поверхность заготовки, светового пятна. Фокусом именуется минимальный диаметр последнего. Расстояние до подобной точки, фокусным.
В точке фокусировки луч лазера отличается максимальной интенсивностью.
В зависимости от мощности установленного излучателя, он может резать за проход заготовки, выполненные из материалов доступной толщины.
Тонкие линзы. Построение изображений.
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: построение изображений в линзах, формула тонкой линзы.
Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в предыдущей теме, приводят нас к важнейшему утверждению.
Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка , то после преломления в линзе все лучи (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Напомним ещё раз, что это касается не вообще всех лучей, а только параксиальных, то есть образующих малые углы с главной оптической осью. В предыдущей теме мы договорились, что рассматриваем только параксиальные лучи. Лишь для них работают наши правила хода лучей сквозь тонкие линзы.
Точка называется изображением точки.
Если в точке пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действительным. Оно может быть получено на экране, так как в точке концентрируется энергия световых лучей.
Если же в точке пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга — достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку. Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.
Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.
Сперва рассмотрим собирающую линзу. Пусть — расстояние от точки до линзы, — фокусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: и (а также промежуточный случай ). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы
обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта.
Первый случай:. Точечный источник света расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис.
Рис. Случай a>f: действительное изображение точки S
Луч , идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч , построим точку , в которой преломлённый луч пересекается с лучом , а затем покажем, что положение точки не зависит от выбора луча (иными словами, точка является одной и той же для всевозможных лучей ). Тем самым окажется, что все лучи, исходящие из точки , после преломления в линзе пересекаются в точке и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая.
Точку мы найдём, построив дальнейший ход луча. Делать это мы умеем: параллельно лучу проводим побочную оптическую ось до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе , после чего проводим преломлённый луч до пересечения с лучом в точке.
Теперь будем искать расстояние от точки до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через и , т. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча.
Опустим перпендикуляры и на главную оптическую ось. Проведём также параллельно главной оптической оси, т. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:
, (1)
, (2). (3)
В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено).
Но , так что соотношение (4) переписывается в виде:
Отсюда находим искомое расстояние от точки до линзы:
Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча. Следовательно, любой луч после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку , и эта точка будет действительным изображением источника
Теорема об изображении в данном случае доказана.
Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника пересекаются после линзы в одной точке — его изображении — то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно?
Если источник не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:
— луч, идущий через оптический центр линзы — он не преломляется;
— луч, параллельный главной оптической оси — после преломления он идёт через фокус.
Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис.
Рис. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси
Если же точка лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один — идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать «неудобный» (рис.
Рис. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси
Посмотрим ещё раз на выражение ( 5). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:
Теперь разделим обе части этого равенства на a:
Соотношение (7) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для. В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.
Теперь вернёмся к соотношению (6). Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что не зависит от расстояния (рис. 1, 2) между источником и главной оптической осью!
Это означает, что какую бы точку отрезка мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии от линзы. Оно будет лежать на отрезке — а именно, на пересечении отрезка с лучом , который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки будет точка.
Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка лужит отрезок. Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить — прямым или перевёрнутым получается изображение.
Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая. Здесь можно выделить три характерных ситуации.
Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 4; двойной фокус обозначен ). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет (почему?).
Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах — эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым — чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.
Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Г — (это заглавная греческая «гамма»):
Из подобия треугольников и получим:
Формула (8) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.
В этом случае из формулы (6) находим, что и. Линейное увеличение линзы согласно (8) равно единице, т. размер изображения равен размеру предмета (рис.
Рис. a=2f: размер изображения равен размеру предмета
В этом случае из формулы линзы следует, что (почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы — изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис.
Рис. a>2f: изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное
Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов — словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.
Рассмотрение первого случая нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.
Второй случай:. Точечный источник света расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис.
Рис. Случай a < f: мнимое изображение точки
Наряду с лучом , идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч. Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча и. Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке.
Теорема об изображении утверждает, что точка будет одной и той же для всех лучей , исходящих из точки. Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:
Снова обозначая через расстояние от до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):
Величина не зависит от луча , что и доказывает теорему об изображении для нашего случая. Итак, — мнимое изображение источника. Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис.
Рис. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси
Ну а если точка лежит на главной оптической оси, то деваться некуда — придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис.
Рис. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси
Соотношение (9) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая. Сначала переписываем это соотношение в виде:
а затем делим обе части полученного равенства на a:
Сравнивая (7) и (11), мы видим небольшую разницу: перед слагаемым стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.
Величина , вычисляемая по формуле (10), не зависит также от расстояния между точкой и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой ), это означает, что изображением отрезка на рис. 9 будет отрезок.
Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 10). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.
Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло — лупу. Случай полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая. Это не удивительно — ведь между ними лежит промежуточный «катастрофический» случай.
Промежуточный случай:. Источник света расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 11).
Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости — а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника , расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.
Рис. a=f: изображение отсутствует
Где же изображение точки ? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае — изображение находится на бесконечности.
Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).
Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.
К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный.
Снова берём луч и произвольный луч (рис. 12). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча и , которые наш глаз достраивает до пересечения в точке.
Рис. Мнимое изображение точки S в рассеивающей линзе
Нам снова предстоит доказать теорему об изображении — о том, что точка будет одной и той же для всех лучей. Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:
Величина b не зависит от луча span
, поэтому продолжения всех преломлённых лучей span
пересекутся в точке — мнимом изображении точки. Теорема об изображении тем самым полностью доказана.
Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (6) и (10). В случае их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации и.
А вот у формулы (13) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника — случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.
Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой — параллельно главной оптической оси (рис. 13).
Рис. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси
Если же точка лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 14).
Рис. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси
Соотношение (13) даёт нам ещё один вариант формулы линзы. Сначала перепишем:
а потом разделим обе части полученного равенства на a:
Так выглядит формула линзы для рассеивающей линзы.
Три формулы линзы (7), (11) и (14) можно записать единообразно:
если соблюдать следующую договорённость о знаках:
— для мнимого изображения величина считается отрицательной;
— для рассеивающей линзы величина считается отрицательной.
Это очень удобно и охватывает все рассмотренные случаи.
Величина , вычисляемая по формуле (13), опять-таки не зависит от расстояния между точкой и главной оптической осью. Это снова даёт нам возможность построить изображение предмета , которое на сей раз получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 15).
Рис. Изображение мнимое, прямое, уменьшенное
